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Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Prisma Volumen und Oberfläche

Das Volumen eines Prismas ist Grundfläche mal senkrechte Körperhöhe. Entscheidend sind die richtige Grundflächenformel und die Unterscheidung zwischen Körperhöhe und einer Höhe innerhalb der Grundfläche.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundfläche mal senkrechte Höhe

Auch bei einem schiefen Prisma gilt V = Gh. Dabei ist h der senkrechte Abstand der Grundflächen, nicht die Länge einer schrägen Seitenkante. Ein Quader kann als Prisma mit rechteckiger Grundfläche betrachtet werden.

  1. Markiere die Grundfläche und ihre gegenüberliegende Deckfläche.

  2. Bestimme deren senkrechten Abstand.

V=Gh\mathsf{V=Gh}

Dreiecksprisma mit Grundfläche und Körperhöhe.

Erklärung 02

Die Grundfläche passend berechnen

Beim Dreieck verwendest du die zu einer Grundseite gehörende Dreieckshöhe. Beim Trapez brauchst du die parallelen Seiten und ihren Abstand. Berechne G zuerst vollständig in Quadrateinheiten.

  1. Grundflächenhöhe und Körperhöhe mit unterschiedlichen Zeichen benennen.

G△=12at,GTrapez=a+c2t\mathsf{G_\triangle=\frac12at,\quad G_{\mathsf{Trapez}}=\frac{a+c}{2}t}

So geht es am Beispiel

Prisma: Grunddreieck mit Grundseite 6cm und zugehöriger Höhe 4cm; Körperhöhe 8cm.

G=12⋅6⋅4=12 cm2\mathsf{G=\frac12\cdot6\cdot4=12\,\mathsf{cm}^2}
V=12⋅8=96 cm3\mathsf{V=12\cdot8=96\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

96 cm³

So geht es am Beispiel

Trapezprisma: parallele Grundseiten 6cm und 10cm, deren Abstand 3cm; Körperhöhe 5cm.

G=6+102⋅3=24 cm2\mathsf{G=\frac{6+10}{2}\cdot3=24\,\mathsf{cm}^2}
V=24⋅5=120 cm3\mathsf{V=24\cdot5=120\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

120 cm³

Erklärung 03

Umstellen und vergleichen

Ist das Volumen bekannt, erhältst du die Körperhöhe durch Teilen durch G. Beim geraden Prisma kann die Oberfläche zusätzlich aus Grundumfang und Höhe berechnet werden. Für schiefe Prismen bleibt O = 2G + M richtig, die Mantelformel u mal h gilt aber nicht allgemein.

  1. Umkehrung erst symbolisch aufschreiben.

h=VG,G=Vh\mathsf{h=\frac VG,\quad G=\frac Vh}

Prismennetz: ebene Flächen zeigen Oberfläche, nicht direkt den Rauminhalt.

So geht es am Beispiel

V = 90 cm³, G = 15 cm². Bestimme h.

h=90/15=6 cm\mathsf{h=90/15=6\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

6 cm

Erklärung 04

Oberflächenrechnung separat lernen

Das Volumen beschreibt Raum, die Oberfläche die äußeren Flächen. Beim geraden Prisma gilt O=2G+uh\mathsf{O=2G+uh}. Einheiten helfen, beide Größen auseinanderzuhalten.

  1. Weiterlernen: Prisma Oberfläche mit Grundumfang und Netzen.

Ein Netz zeigt alle Flächen, ist aber keine Schicht des ausgefüllten Körpers.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Prisma Volumen und Oberfläche · AnwendenDreiecksprisma: Grundseite 10cm, zugehörige Dreieckshöhe 4cm, Körperhöhe 7cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=20 cm2\mathsf{G=20\,\mathsf{cm}^2}
      V=20⋅7=140 cm3\mathsf{V=20\cdot7=140\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen140 cm³
  2. Aufgabe 2Prisma Volumen und Oberfläche · AnwendenTrapezprisma: parallele Grundseiten 4cm und 8cm, Abstand 5cm, Körperhöhe 6cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=4+82⋅5=30 cm2\mathsf{G=\frac{4+8}{2}\cdot5=30\,\mathsf{cm}^2}
      V=30⋅6=180 cm3\mathsf{V=30\cdot6=180\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen180 cm³
  3. Aufgabe 3Prisma Volumen und Oberfläche · AnwendenV = 144 cm³ und G = 18 cm². Berechne h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=144/18=8 cm\mathsf{h=144/18=8\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Körperhöhe8 cm
  4. Aufgabe 4Prisma Volumen und Oberfläche · AnwendenEin schiefes Prisma hat G = 20 cm², senkrechte Körperhöhe 4cm und Seitenkantenlänge 5cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=G⋅h=20⋅4=80 cm3\mathsf{V=G\cdot h=20\cdot4=80\,\mathsf{cm}^3}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die schräge Seitenkante 5cm ist nicht die senkrechte Höhe.

    Ergebnis

    1. Volumen80 cm³
  5. Aufgabe 5Prisma Volumen und Oberfläche · AnwendenDie Vorlage zeigt einen Quader als besonderes Prisma. Ergänze die Mittellinie in Vorder- und rechter Seitenfläche, sodass zwei Schichten gleicher Höhe entstehen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zwei Prismenschichten

    Quader als besonderes Prisma mit Maßen 3cm×2cm×2cm und ungeteilter Körperhöhe.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Grundfläche beträgt 3cm·2cm=6cm².

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Jede Schicht ist 1cm hoch.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Trennlinie verläuft vorn waagerecht und seitlich parallel zu den Tiefenkanten.

    Ergebnis

    1. Zwei PrismenschichtenMittellinie in Vorder- und rechter Seitenfläche; beide Schichten gleich hoch.
  6. Aufgabe 6Prisma Volumen und Oberfläche · AnwendenEin gerades Prisma hat G = 6 cm², u = 12 cm und h = 5 cm. Berechne V und O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=6⋅5=30 cm3\mathsf{V=6\cdot5=30\,\mathsf{cm}^3}
      O=2⋅6+12⋅5=72 cm2\mathsf{O=2\cdot6+12\cdot5=72\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Volumen30 cm³
    2. Oberfläche72 cm²

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