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Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Prisma - Oberfläche

Die Oberfläche eines Prismas besteht aus zwei Grundflächen und dem Mantel. Beim geraden Prisma berechnest du den Mantel aus Grundumfang und Körperhöhe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Grundflächen plus Mantel

Für jedes Prisma gilt Oberfläche gleich zweimal Grundfläche plus Mantel. Beim geraden Prisma ist der Mantel Grundumfang mal Körperhöhe. Beim schiefen Prisma müssen die Flächeninhalte der schrägen Seitenflächen passend berechnet werden; die Formel u mal senkrechte Körperhöhe ist dort im Allgemeinen falsch.

  1. Notiere G in cm², u und h in cm.

O=2G+M;M=uh\mathsf{O=2G+M;\quad M=uh} beim geraden Prisma.

Dreiecksprisma mit Grundfläche G und senkrechtem Abstand der Stirnflächen h.

Erklärung 02

Grundfläche und Grundumfang berechnen

Für G brauchst du die Flächenformel des Grundpolygons, für u die Summe seiner Seitenlängen. Beim Dreieck werden Grundseite und zugehörige Dreieckshöhe verwendet. Beim Trapez sind a und c die parallelen Seiten und t ihr senkrechter Abstand. t ist nicht die Körperhöhe h.

  1. Bestimme G und u getrennt.

GDreieck=12at,GTrapez=a+c2t\mathsf{G_{\mathsf{Dreieck}}=\frac12at,\quad G_{\mathsf{Trapez}}=\frac{a+c}{2}t}

So geht es am Beispiel

Ein gleichschenkliges Trapez hat parallele Seiten 3cm und 7cm, Abstand 3cm und Schenkel je √13cm. Bestimme G und u.

G=3+72⋅3=15 cm2\mathsf{G=\frac{3+7}{2}\cdot3=15\,\mathsf{cm}^2}
u=3+7+213=10+213 cm\mathsf{u=3+7+2\sqrt{13}=10+2\sqrt{13}\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

G = 15 cm²; u = (10 + 2√13) cm

Erklärung 03

Eine vollständige Oberflächenrechnung

Im Netz erkennst du, warum beide Grundflächen und alle Seitenrechtecke gezählt werden. Die Summe der Rechtecksbreiten ergibt den Grundumfang.

  1. Zuerst G und u berechnen.

  2. Dann M = uh, schließlich O = 2G + M.

Am Ende muss eine Quadrateinheit stehen.

Netz eines geraden 3-4-5-Dreiecksprismas mit Körperhöhe 7cm.

So geht es am Beispiel

Gerades Prisma mit rechtwinkligem 3-4-5-Grunddreieck und Körperhöhe 7cm.

G=12⋅3⋅4=6 cm2\mathsf{G=\frac12\cdot3\cdot4=6\,\mathsf{cm}^2}
u=12 cm\mathsf{u=12\,\mathsf{cm}}
M=12⋅7=84 cm2\mathsf{M=12\cdot7=84\,\mathsf{cm}^2}
O=12+84=96 cm2\mathsf{O=12+84=96\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

96 cm²

Erklärung 04

Oberfläche ist nicht Volumen

Das Volumen wird mit G mal h berechnet, nicht mit u mal h. Das Produkt u mal h liefert beim geraden Prisma eine Fläche und zwar nur den Mantel.

  1. Weiterlernen: Volumen Prisma für Rauminhalt und Umkehrungen.

Achte auf cm² gegenüber cm³.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Prisma - Oberfläche · AnwendenDas Grunddreieck eines Prismas hat Grundseite 8cm und zugehörige Höhe 3cm. Bestimme G.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=12⋅8⋅3=12 cm2\mathsf{G=\frac12\cdot8\cdot3=12\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Grundfläche12 cm²
  2. Aufgabe 2Prisma - Oberfläche · AnwendenDie Grundfläche ist ein Dreieck mit Seiten 5cm,5cm und 6cm. Berechne u.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      u=5+5+6=16 cm\mathsf{u=5+5+6=16\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Grundumfang16 cm
  3. Aufgabe 3Prisma - Oberfläche · AnwendenEin gerades Prisma hat u = 16 cm und Körperhöhe 9cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=16⋅9=144 cm2\mathsf{M=16\cdot9=144\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Mantel144 cm²
  4. Aufgabe 4Prisma - Oberfläche · AnwendenEin gerades Prisma hat G = 12 cm², u = 16 cm und h = 9 cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=2⋅12+16⋅9=168 cm2\mathsf{O=2\cdot12+16\cdot9=168\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche168 cm²
  5. Aufgabe 5Prisma - Oberfläche · AnwendenMarkiere im Netz nur die beiden Flächen, deren Inhalt jeweils G ist. Die Mantelflächen bleiben frei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Grundflächen

    Vorbereitetes Netz eines geraden 3-4-5-Dreiecksprismas; beide Grundflächen unmarkiert.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Grundflächen sind die beiden kongruenten Dreiecke.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Markiere G₁ und G₂; die drei Rechtecke gehören zum Mantel.

    Ergebnis

    1. GrundflächenDie beiden Dreiecke G₁ und G₂ sind markiert.
  6. Aufgabe 6Prisma - Oberfläche · AnwendenEin gerades Prisma hat O = 150 cm², G = 15 cm² und u = 20 cm. Berechne die Körperhöhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=150−2⋅15=120 cm2\mathsf{M=150-2\cdot15=120\,\mathsf{cm}^2}
      h=M/u=120/20=6 cm\mathsf{h=M/u=120/20=6\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Körperhöhe6 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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