Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Prismen

Ein Prisma besitzt zwei parallele, deckungsgleiche Vielecksflächen. Ihre Form gibt dem Prisma seinen Namen. Für Rechnungen unterscheidest du Grundfläche, Grundumfang und senkrechte Körperhöhe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Prisma erkennen

Bei einem Prisma liegen die entsprechenden Eckpunkte der beiden Grundflächen auf parallelen, gleich langen Seitenkanten. Ein gerades Prisma hat Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen; seine Mantelflächen sind Rechtecke. Beim schiefen Prisma sind es im Allgemeinen Parallelogramme. Eine Pyramide mit gemeinsamer Spitze ist kein Prisma.

Suche zwei parallele, deckungsgleiche Vielecke.

Quader und Würfel sind besondere gerade Prismen.

Gerades Dreiecksprisma mit vorderer Grundfläche G und hinterer kongruenter Deckfläche.

Erklärung 02

Grund- und Deckfläche

Die Grundfläche muss nicht unten im Bild liegen. Beim liegenden Dreiecksprisma sind es die beiden dreieckigen Stirnflächen. Ihr Flächeninhalt heißt G, ihr Umfang u. Die Körperhöhe h ist ihr senkrechter Abstand. Ein Dreiecksprisma besitzt fünf Flächen, neun Kanten und sechs Ecken.

Wähle die beiden kongruenten Vielecke als Grund- und Deckfläche.

Die Höhe eines Grunddreiecks ist etwas anderes als die Körperhöhe.

Erklärung 03

Der Mantel verbindet die Grundflächen

Beim geraden Prisma sind die Rechtecksbreiten die Seitenlängen des Grundpolygons; alle Rechteckshöhen sind h. Ausgebreitet ergibt ihr gemeinsamer Flächeninhalt Grundumfang mal Körperhöhe. Beim schiefen Prisma darf diese vereinfachte Formel nicht mit der senkrechten Körperhöhe verwendet werden.

Addiere die Seitenlängen der Grundfläche zu u.

$\mathsf{M=uh}$ für gerade Prismen.

Prismennetz mit drei Rechtecken und zwei kongruenten rechtwinkligen 3-4-5-Dreiecken.

Erklärung 04

Volumen und Oberfläche

Das Volumen ist bei geraden und schiefen Prismen Grundfläche mal senkrechte Höhe. Die Oberfläche ist immer die Summe aus zwei Grundflächen und Mantel. Nur beim geraden Prisma folgt die vereinfachte Mantelformel.

Volumen in Kubikeinheiten, Oberfläche in Quadrateinheiten angeben.

$\mathsf{V=Gh,\quad O=2G+M}$

So geht es am Beispiel

Gerades Prisma: rechtwinkliges Grunddreieck mit Seiten 3cm,4cm,5cm; Körperhöhe 5cm. Berechne G, V und O.

\mathsf{G=\frac12\cdot3\cdot4=6\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{u=3+4+5=12\,\mathsf{cm}}

\mathsf{V=6\cdot5=30\,\mathsf{cm}^3}

\mathsf{M=12\cdot5=60\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{O=2\cdot6+60=72\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 05

Prismen unter den Körpern

Ein Zylinder besitzt kreisförmige Grundflächen und ist nach der hier verwendeten Vielecksdefinition kein Prisma. Seine Volumenformel hat dennoch dieselbe Struktur G mal h.

Weiterlernen: Prisma Oberfläche und Prisma Volumen für gezielte Rechnungen.

Ähnliche Formeln bedeuten nicht dieselbe Körperklasse.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Prismen · AnwendenEin Körper besitzt zwei parallele deckungsgleiche Fünfecke und fünf verbindende Seitenflächen. Wie heißt er?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Körper
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Grundflächen sind Fünfecke; das erfüllt die Prismendefinition.
Ergebnis
1. KörperFünfeckprisma
02
Aufgabe 2Prismen · AnwendenWie viele Flächen und Ecken hat ein Dreiecksprisma?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächen
Ecken
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei Dreiecke und drei Mantelflächen ergeben fünf Flächen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Jedes Grunddreieck hat drei Ecken.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Flächen5
2. Ecken6
03
Aufgabe 3Prismen · AnwendenEin Dreiecksprisma liegt auf einer rechteckigen Seitenfläche. Welche Flächen sind seine Grund- und Deckfläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Grundflächen werden durch ihre Kongruenz und Parallelität bestimmt, nicht durch oben oder unten.
Ergebnis
1. FlächenDie beiden parallelen kongruenten Dreiecksflächen
04
Aufgabe 4Prismen · AnwendenEin Prisma hat G = 9 cm² und senkrechte Körperhöhe 7cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=9\cdot7=63\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen63 cm³
05
Aufgabe 5Prismen · AnwendenEin gerades Prisma hat G = 10 cm², Grundumfang 14cm und Körperhöhe 6cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Oberfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M=14\cdot6=84\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{O=2\cdot10+84=104\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Oberfläche104 cm²
06
Aufgabe 6Prismen · AnwendenErgänze unter dem linken Rechteck die fehlende zweite Dreiecksfläche. Übernimm Form und Seitenlängen des oberen Dreiecks gespiegelt an die untere Rechteckkante. Die Vorlage ist skaliert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vervollständigtes Prismennetz
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vervollständigtes Prismennetz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die beiden Grundflächen müssen deckungsgleich sein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die gemeinsame waagerechte Kante ist 4cm im Modell.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ergänze links eine senkrechte Kathete von 3cm im selben Maßstab und die Hypotenuse.
Ergebnis
1. Vervollständigtes PrismennetzEin kongruentes rechtwinkliges Dreieck liegt unter dem linken Rechteck; der Mantel bleibt unverändert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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