Ableitungsregeln · Erklären & üben

Produktregel

Ein Produkt verändert sich, wenn sich einer seiner Faktoren ändert. Beim Ableiten berücksichtigst du beide Beiträge und addierst sie.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Faktoren erkennen

Sind u und v an einer Stelle differenzierbar, ist auch ihr Produkt dort differenzierbar. Zerlege den Term zuerst in zwei Faktoren und notiere deren Ableitungen.

Leite den ersten Faktor ab und lasse den zweiten stehen. Addiere dann den unveränderten ersten Faktor mal die Ableitung des zweiten.

$\mathsf{f=u\cdot v\quad\Rightarrow\quad f^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}}$

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=(x+2)(x^2-1)}$ ab.

$\mathsf{u=x+2,\quad v=x^2-1}$ — Faktoren festlegen.

$\mathsf{u^{\prime}=1,\quad v^{\prime}=2x}$ — einzeln ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=1\cdot(x^2-1)+(x+2)\cdot2x}$ — Regel einsetzen.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=x^2-1+2x^2+4x}$ — ausmultiplizieren.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+4x-1}$ — zusammenfassen.

Erklärung 02

Warum die Ableitungen nicht multipliziert werden

Für f(x)=x·x ergibt die Produktregel x+x=2x. Das Produkt der Ableitungen wäre dagegen 1·1=1 und damit falsch.

Anschaulich hat ein Rechteck die Seiten u und v. Eine kleine Änderung einer Seite erzeugt einen Streifen. Bei zwei veränderlichen Seiten entstehen zwei solche Beiträge. Der kleine Eckbereich ist bei der Ableitung von höherer Ordnung.

Die Skizze zeigt den Fall positiver Seiten und positiver Zuwächse. Die Regel selbst gilt auch für negative Funktionswerte.

Rechteck mit Seiten u und v, zwei Zuwachsstreifen und getrennt markiertem Eckbereich.

Erklärung 03

Exponentialfunktion und Sinus

Auch bei verschiedenen Funktionsfamilien bleibt das Schema gleich. Die Ableitung von e hoch x ist wieder e hoch x; die Ableitung von sin x ist cos x im Bogenmaß.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g(x)=x^2e^x}$

$\mathsf{u^{\prime}=2x,\quad v^{\prime}=e^x}$ — Faktoren ableiten.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=2xe^x+x^2e^x}$ — beide Beiträge.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=e^x(x^2+2x)}$ — gemeinsamen Faktor ausklammern.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{h(x)=e^x\sin x}$

$\mathsf{h^{\prime}(x)=e^x\sin x+e^x\cos x}$ — beide Faktoren einmal ableiten.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=e^x(\sin x+\cos x)}$ — ausklammern.

Erklärung 04

Drei Faktoren und andere Regeln

Bei drei Faktoren leitest du in jedem Summanden genau einen Faktor ab; die übrigen bleiben erhalten. Das folgt durch zweimaliges Anwenden der Produktregel.

Ein konstanter Faktor kann vor der Rechnung herausgezogen werden. Bei verketteten Faktoren kommt zusätzlich die Kettenregel zum Einsatz. Quotienten werden im nächsten Thema behandelt.

$\mathsf{(uvw)^{\prime}=u^{\prime}vw+uv^{\prime}w+uvw^{\prime}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{k(x)=x\,e^x\sin x}$

$\mathsf{k^{\prime}(x)=1\cdot e^x\sin x+x\cdot e^x\sin x+x\cdot e^x\cos x}$ — jeden Faktor einmal ableiten.

$\mathsf{k^{\prime}(x)=e^x((1+x)\sin x+x\cos x)}$ — e hoch x ausklammern.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Produktregel · GrundlagenLeite $\mathsf{f(x)=x(x+3)}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=1,\quad v^{\prime}=1}$ — Faktoren in ihrer Reihenfolge ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1\cdot(x+3)+x\cdot1}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=x+3+x}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2x+3}$ auf R.
02
Aufgabe 2Produktregel · GrundlagenLeite $\mathsf{f(x)=(x-2)(x+4)}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=1,\quad v^{\prime}=1}$ — Faktoren in ihrer Reihenfolge ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1\cdot(x+4)+(x-2)\cdot1}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=x+4+x-2}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2x+2}$ auf R.
03
Aufgabe 3Produktregel · GrundlagenLeite $\mathsf{f(x)=x^2(x+1)}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=2x,\quad v^{\prime}=1}$ — Faktoren in ihrer Reihenfolge ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x(x+1)+x^2\cdot1}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x^2+2x+x^2}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3x^2+2x}$ auf R.
04
Aufgabe 4Produktregel · AnwendenLeite $\mathsf{f(x)=(x^2+1)(x^2-1)}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=2x,\quad v^{\prime}=2x}$ — Faktoren in ihrer Reihenfolge ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x(x^2-1)+(x^2+1)2x}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x^3-2x+2x^3+2x}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{4x^3}$ auf R.
05
Aufgabe 5Produktregel · AnwendenLeite $\mathsf{f(x)=xe^x}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=1,\quad v^{\prime}=e^x}$ — Faktoren in ihrer Reihenfolge ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=e^x+xe^x}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=e^x(1+x)}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e^x(1+x)}$ auf R.
06
Aufgabe 6Produktregel · AnwendenLeite $\mathsf{f(x)=x\cos x}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=1,\quad v^{\prime}=-\sin x}$ — Faktoren in ihrer Reihenfolge ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\cos x+x(-\sin x)}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\cos x-x\sin x}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\cos x-x\sin x}$ auf R.
07
Aufgabe 7Produktregel · AnwendenLeite $\mathsf{f(x)=x(x+1)(x-1)}$ mit der Regel für drei Faktoren ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=(x+1)(x-1)+x(x-1)+x(x+1)}$ — je einen Faktor ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=x^2-1+x^2-x+x^2+x}$ — ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-1}$ — zusammenfassen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3x^2-1}$
08
Aufgabe 8Produktregel · VertiefenJemand berechnet für $\mathsf{f(x)=x^2e^x}$ die Ableitung $\mathsf{2xe^x}$ . Erkläre den Fehler und ergänze den fehlenden Beitrag.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nur der erste Faktor wurde abgeleitet.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite Beitrag ist $\mathsf{x^2e^x}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2xe^x+x^2e^x}$ — beide Beiträge addieren.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung $\mathsf{e^x(2x+x^2)}$ ; kein Produkt beider Ableitungen.
09
Aufgabe 9Produktregel · VertiefenFür $\mathsf{f(x)=x(x+2)}$ : Bestimme f′ mit der Produktregel. Zeichne f′ rechts und markiere seine Nullstelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1\cdot(x+2)+x\cdot1}$ — Produktregel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x+2}$ — zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{2x+2=0}$ — Nullstelle suchen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{2x=-2}$ — 2 abziehen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{x=-1}$ — durch 2 teilen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungGerade $\mathsf{y=2x+2}$ mit Nullstelle −1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die vollständigen Faktoren beziehungsweise Zähler und Nenner.
Ich notiere den Definitionsbereich und löse Minusklammern sorgfältig auf.
Ich setze erst in die Regel ein und vereinfache danach.

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