Ableitungsregeln · Erklären & üben

Quotientenregel

Bei einem Bruch können sich Zähler und Nenner verändern. Die Quotientenregel fasst beide Beiträge zusammen; der Nenner darf dabei nicht null sein.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zähler und Nenner getrennt vorbereiten

Seien u und v differenzierbar und v(x)≠0. Setze u als gesamten Zähler und v als gesamten Nenner. Berechne zuerst u′ und v′.

Im Zähler der Ableitung steht zuerst u′ mal v, dann minus u mal v′. Der gesamte Nenner wird quadriert. Vertauschen der beiden Zählerprodukte ändert das Vorzeichen.

$\mathsf{\left(\frac uv\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\quad(v\ne0)}$

Beschriftete Darstellung beider Zählerbeiträge mit Minuszeichen und gemeinsamem quadrierten Nenner.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{f(x)=\frac{x+2}{x-1}}$

$\mathsf{x-1\ne0\Rightarrow x\ne1}$ — Definitionsbereich.

$\mathsf{u=x+2,\quad v=x-1}$ — ganzen Zähler und Nenner wählen.

$\mathsf{u^{\prime}=1,\quad v^{\prime}=1}$ — ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot1}{(x-1)^2}}$ — einsetzen.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{x-1-x-2}{(x-1)^2}}$ — Minusklammer auflösen.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{-3}{(x-1)^2}}$ — zusammenfassen.

Erklärung 02

Brüche vor dem Ableiten vereinfachen

Bei einem konstanten Nenner reicht die Faktorregel. Bei einem Nenner x lassen sich manchmal alle Summanden einzeln teilen.

Kürzen ist nur mit gemeinsamen Faktoren erlaubt, niemals mit einzelnen Summanden. Eine ausgeschlossene Stelle bleibt ausgeschlossen, auch wenn sie nach dem Kürzen nicht mehr sichtbar ist.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$

$\mathsf{x\ne1}$ — Nennerbedingung.

$\mathsf{g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}$ — Zähler faktorisieren.

$\mathsf{g(x)=x+1\quad(x\ne1)}$ — gemeinsamen Faktor kürzen.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=1\quad(x\ne1)}$ — ableiten.

Erklärung 03

Herleitung aus Produkt- und Kettenregel

Schreibe u/v als Produkt u·v hoch −1. Zum Ableiten des zweiten Faktors brauchst du die Kettenregel. Das Minus stammt aus dem Exponenten −1.

So geht es am Beispiel

Leite die allgemeine Regel her.

$\mathsf{f=u\cdot v^{-1}}$ — Bruch umschreiben.

$\mathsf{f^{\prime}=u^{\prime}v^{-1}+u(-v^{-2}v^{\prime})}$ — Produkt- und Kettenregel.

$\mathsf{f^{\prime}=\frac{u^{\prime}}v-\frac{uv^{\prime}}{v^2}}$ — negative Exponenten umschreiben.

$\mathsf{f^{\prime}=\frac{u^{\prime}v}{v^2}-\frac{uv^{\prime}}{v^2}}$ — ersten Bruch erweitern.

$\mathsf{f^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}}$ — gleichen Nenner nutzen.

Erklärung 04

E-Funktion und typische Fehler

Der Bruch der Ableitungen u′/v′ ist im Allgemeinen falsch. Bei 1/x wäre er null, obwohl die tatsächliche Ableitung −1/x² lautet.

Notiere erst die vollständige Formel mit Klammern und vereinfache danach. Für verschachtelte Funktionen kommen die Kettenregel und gegebenenfalls die Produktregel zusätzlich hinzu.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{h(x)=\frac{e^x}{x}}$

$\mathsf{x\ne0}$ — Bereich.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot1}{x^2}}$ — Quotientenregel.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}}$ — e hoch x ausklammern.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quotientenregel · GrundlagenBestimme Definitionsbereich und Ableitung von $\mathsf{f(x)=\frac{x}{x+2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne-2}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{1\cdot(x+2)-x\cdot1}{(x+2)^2}}$ — Quotientenregel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{x+2-x}{(x+2)^2}}$ — Zähler vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac2{(x+2)^2}}$ für $\mathsf{x\ne-2}$ .
02
Aufgabe 2Quotientenregel · GrundlagenBestimme Definitionsbereich und Ableitung von $\mathsf{f(x)=\frac{2x-1}{x+3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne-3}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}}$ — Quotientenregel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2}}$ — Zähler vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac7{(x+3)^2}}$ für $\mathsf{x\ne-3}$ .
03
Aufgabe 3Quotientenregel · GrundlagenBestimme Definitionsbereich und Ableitung von $\mathsf{f(x)=\frac{x^2}{x-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne2}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}}$ — Quotientenregel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2}}$ — Zähler vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}}$ für $\mathsf{x\ne2}$ .
04
Aufgabe 4Quotientenregel · AnwendenBestimme Definitionsbereich und Ableitung von $\mathsf{f(x)=\frac1{x^2+1}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\in\mathbb R}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{0\cdot(x^2+1)-1\cdot2x}{(x^2+1)^2}}$ — Quotientenregel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}}$ — Zähler vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac{-2x}{(x^2+1)^2}}$ für $\mathsf{x\in\mathbb R}$ .
05
Aufgabe 5Quotientenregel · AnwendenBestimme Definitionsbereich und Ableitung von $\mathsf{f(x)=\frac{\sin x}{x}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne0}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{x\cos x-\sin x\cdot1}{x^2}}$ — Quotientenregel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$ — Zähler vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$ für $\mathsf{x\ne0}$ .
06
Aufgabe 6Quotientenregel · AnwendenBestimme Definitionsbereich und Ableitung von $\mathsf{f(x)=\frac{x}{e^x}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\in\mathbb R}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{e^x-xe^x}{(e^x)^2}}$ — Quotientenregel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}}$ — Zähler vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac{1-x}{e^x}}$ für $\mathsf{x\in\mathbb R}$ .
07
Aufgabe 7Quotientenregel · AnwendenVereinfache $\mathsf{f(x)=(x^2+3x)/x}$ vor dem Ableiten. Gib den Bereich an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne0}$ — Nennerbedingung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+3}$ — beide Summanden durch x teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1}$ — ableiten.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisAbleitung 1 auf R ohne 0.
08
Aufgabe 8Quotientenregel · VertiefenBei $\mathsf{f(x)=(x+1)/(x-2)}$ schreibt jemand im Zähler der Ableitung: (x−2)−(x+1)=−1. Berichtige die Rechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x-2)-(x+1)=x-2-x-1}$ — Minus betrifft beide Terme.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x-2-x-1=-3}$ — zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-3/(x-2)^2}$ — Ergebnis mit Nenner.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung $\mathsf{-3/(x-2)^2}$ für x≠2.
09
Aufgabe 9Quotientenregel · VertiefenFür $\mathsf{f(x)=1/x}$ mit x>0: Berechne f′. Trage bei x=0,5; 1; 2 die Ableitungswerte rechts ein und skizziere den Graphen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{0\cdot x-1\cdot1}{x^2}}$ — Quotientenregel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-1/x^2}$ — vereinfachen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(0{,}5)=-4}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=-1}$ — einsetzen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(2)=-1/4}$ — einsetzen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungAlle Werte negativ; der Graph nähert sich für wachsende x der Nulllinie von unten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die vollständigen Faktoren beziehungsweise Zähler und Nenner.
Ich notiere den Definitionsbereich und löse Minusklammern sorgfältig auf.
Ich setze erst in die Regel ein und vereinfache danach.

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