Zuordnungen · Erklären & üben

Proportionale Zuordnung

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt y=kx. Jede Menge wird mit demselben Faktor k multipliziert; deshalb bleiben die Quotienten y/x für x≠0 gleich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Der konstante Quotient entscheidet

Bei einer proportionalen Zuordnung ist k=y/x für alle erlaubten x≠0 gleich. k heißt Proportionalitätsfaktor und trägt je nach Zusammenhang eine Einheit.

Für Masse in Kilogramm und Preis in Euro ist k ein Preis pro Kilogramm. Ist x=0 erlaubt, folgt aus y=kx auch y=0. Den Quotienten 0/0 darfst du jedoch nicht bilden.

„Je mehr, desto mehr“ allein reicht nicht als Begründung: Auch ein Preis mit Grundgebühr wächst, ohne proportional zu sein.

$\mathsf{y=kx\qquad k=\frac yx\quad(x\ne0)}$

So geht es am Beispiel

2 kg kosten 6 Euro, 5 kg kosten 15 Euro. Prüfe die Quotienten.

$\mathsf{6/2=3}$ — Euro pro kg.

$\mathsf{15/5=3}$ — gleicher Faktor.

$\mathsf{y=3x}$ — passendes proportionales Modell.

Erklärung 02

Tabelle, Pfeile, Term und Ursprungsgerade

Wird x mit einem Faktor multipliziert, wird y mit demselben Faktor multipliziert. In einer Tabelle kannst du daher beide Zeilen gleich verändern.

Die Punkte einer proportionalen Zuordnung liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Bei einem durchgehenden Mengenbereich ist der passende Graph die Ursprungsgerade oder ihr zulässiger Teil.

Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht, ist nicht proportional. Auch der Ursprung allein genügt nicht: y=x² geht durch ihn, hat aber keinen konstanten Quotienten.

Ursprungsgerade y=2x mit Preis- und Masseeinheiten sowie dem gegebenen Punkt P(2|4).

Erklärung 03

Dreisatz und unbekannte Eingabe

Beim Dreisatz rechnest du zunächst auf eine Einheit zurück und dann auf die gesuchte Menge hoch. Das setzt das proportionale Modell voraus.

Ist der Preis y gegeben, löst du y=kx nach x auf. Für k≠0 ergibt sich x=y/k.

So geht es am Beispiel

4 m Stoff kosten 18 Euro. Was kosten 7 m, und wie viel Stoff erhält man für 27 Euro?

$\mathsf{k=18/4=4{,}5}$ — Euro pro Meter.

$\mathsf{y(7)=4{,}5\cdot7=31{,}5}$ — gesuchter Preis.

$\mathsf{x=27/4{,}5=6}$ — gesuchte Länge.

Erklärung 04

Begründete Gegenbeispiele

Bei y=2x+4 lauten die Werte zu 1 und 2 die Zahlen 6 und 8. Verdoppeln von x verdoppelt y nicht; die Quotienten sind verschieden.

Bei einer antiproportionalen Zuordnung y=c/x bleibt das Produkt xy gleich, nicht der Quotient. Dieser andere Zusammenhang wird im eigenen Thema ausführlich behandelt.

Einige passende Tabellenwerte beweisen ohne weitere Information noch keine allgemeine Regel. Eine gegebene Vorschrift oder ein begründetes Sachmodell sichert die Aussage über alle erlaubten Eingaben.

So geht es am Beispiel

Prüfe y=x² an den Stellen 1 und 2.

$\mathsf{y(1)=1,\ y(2)=4}$ — Werte.

$\mathsf{1/1=1}$ — erster Quotient.

$\mathsf{4/2=2}$ — zweiter Quotient.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Proportionale Zuordnung · GrundlagenPrüfe die Paare (1|4),(3|12),(5|20) auf Verträglichkeit mit einer proportionalen Zuordnung und nenne k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4/1=4}$ — Quotient.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{12/3=4}$ — Quotient.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{20/5=4}$ — Quotient.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisAlle passen zu y=4x; k=4.
02
Aufgabe 2Proportionale Zuordnung · GrundlagenPrüfe (1|5),(2|8),(3|11) auf Proportionalität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5/1=5}$ — erster Quotient.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8/2=4}$ — zweiter Quotient.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNicht proportional; Quotienten verschieden.
03
Aufgabe 3Proportionale Zuordnung · Grundlagen3 kg kosten 7,50 Euro. Berechne im proportionalen Modell den Preis für 8 kg.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=7{,}50/3=2{,}50}$ — €/kg.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2{,}50\cdot8=20}$ — Euro.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis20 Euro.
04
Aufgabe 4Proportionale Zuordnung · AnwendenEin gleichbleibender Literpreis beträgt 1,80 Euro. Wie viele Liter entsprechen 9 Euro?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=9/1{,}80}$ — Preis durch €/Liter.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=5}$ — Liter.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis5 Liter.
05
Aufgabe 5Proportionale Zuordnung · AnwendenGegeben y=0,5x. Ergänze die Werte zu x=0,2,6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(0)=0}$ — kein Quotient nötig.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(2)=1}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(6)=3}$ — einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis0,1,3.
06
Aufgabe 6Proportionale Zuordnung · AnwendenEine Gerade geht durch (0|0) und (4|10). Bestimme die proportionale Vorschrift.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=10/4=2{,}5}$ — Faktor.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2{,}5x}$ — Term.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy=2,5x.
07
Aufgabe 7Proportionale Zuordnung · AnwendenEin Taxi kostet 4 Euro Grundgebühr und 2 Euro je Kilometer. Ist der Preis proportional zur Strecke?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2x+4}$ — Vorschrift.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(0)=4}$ — kein Ursprung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(1)=6,\ y(2)=8}$ — kein Verdoppeln.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; die Grundgebühr verhindert Proportionalität.
08
Aufgabe 8Proportionale Zuordnung · VertiefenFür die Paare (2|12),(3|8),(6|4) sind alle Produkte gleich. Ist die Zuordnung proportional?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{12/2=6,\ 8/3\ne6}$ — Quotienten verschieden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot12=3\cdot8=6\cdot4=24}$ — konstantes Produkt.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNicht proportional; die Werte passen zu y=24/x, einem antiproportionalen Modell.
09
Aufgabe 9Proportionale Zuordnung · VertiefenEine Masse von 2 kg kostet 4 Euro, der Preis ist proportional. Zeichne den Graphen für 0≤x≤4 kg und markiere die Preise für 1 und 3 kg. P(2|4) ist gegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{k=4/2=2}$ — €/kg.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{y=2x}$ — Vorschrift.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{y(1)=2,\ y(3)=6}$ — weitere Punkte.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungUrsprungsgerade auf [0,4], Punkte (1|2) und (3|6).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne Eingabe, Ausgabe und Einheiten.
Ich prüfe Eindeutigkeit und zulässige Eingaben.
Proportionalität begründe ich mit konstantem Quotienten oder y=kx.

AT Academy · Version 2026-10-21