Prozentrechnung · Erklären & üben

Prozentrechnung

Prozent bedeutet Hundertstel. Jede Prozentangabe bezieht sich auf ein bestimmtes Ganzes. Erst wenn dieses 100-%-Ganze feststeht, lässt sich ein Anteil eindeutig berechnen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das Ganze und sein Anteil

Der Grundwert G bezeichnet das Ganze, also 100 %. Der Prozentwert W ist der betrachtete Anteil in derselben Einheit. Wir nennen p die Prozentzahl: Bei 20 % ist p gleich 20. Der Prozentsatz ist p %, sein dimensionsloser Dezimalfaktor ist d gleich p durch 100. Ein Viertel entspricht 25 %, ein Ganzes 100 %. Auch Werte über 100 % sind möglich: Sie sind größer als das gewählte Ganze.

Benenne das 100-%-Ganze.
Ordne Anteil und Ganzem dieselbe Einheit zu.
Wandle die Prozentzahl in den Faktor um.

$\mathsf{d=\frac{p}{100}}$ und $\mathsf{W=G\cdot d}$

Ein Quadrat aus hundert gleichgroßen Kästchen. Genau 25 Kästchen sind dunkel gefüllt. Das entspricht einem Viertel, dem Faktor 0,25 und 25 Prozent.

Der ganze Balken steht für 80 Karten. Ein Viertel seiner Länge ist markiert und entspricht 25 Prozent beziehungsweise 20 Karten.

So geht es am Beispiel

Von 80 Karten sind 25 % blau. Berechne die Anzahl blauer Karten.

Das Ganze sind 80 Karten; der Faktor ist $\mathsf{25:100=0{,}25}$

Der Anteil ist $\mathsf{80\cdot0{,}25=20}$

Erklärung 02

Den Grundwert zurückrechnen

Kennst du einen Anteil und seinen Prozentsatz, kannst du das Ganze zurückrechnen. Teile den Prozentwert durch den Dezimalfaktor. Der Faktor muss dafür ungleich null sein. Ein Anteil von 0 bei 0 % bestimmt kein eindeutiges Ganzes.

Benenne den bekannten Anteil und dessen Prozentsatz.
Berechne den Faktor.
Teile den Anteil durch diesen Faktor.

$\mathsf{G=\frac{W}{d}}$ für $\mathsf{d\ne0}$

So geht es am Beispiel

18 belegte Plätze entsprechen 30 % aller Plätze. Wie viele Plätze gibt es insgesamt?

Faktor: $\mathsf{30:100=0{,}3}$

Grundwert: $\mathsf{18:0{,}3=60}$

Erklärung 03

Den Prozentsatz bestimmen

Der Quotient aus Anteil und Ganzem ist der Faktor d. Multipliziere ihn mit 100, um die Prozentzahl p zu erhalten. Der Grundwert darf nicht null sein. Ein Formeldreieck mit W oben und G sowie d unten kann nach dieser Verhältnisgleichung als Merkhilfe dienen; es verwendet den Faktor d, nicht die Prozentzahl p.

Teile den Anteil durch das benannte Ganze.
Multipliziere den Faktor mit 100.
Schreibe hinter die Prozentzahl das Prozentzeichen.

$\mathsf{d=\frac{W}{G}}$ und $\mathsf{p=100d}$ für $\mathsf{G\ne0}$

So geht es am Beispiel

Von 120 Bäumen sind 36 Birken. Welcher Prozentsatz ist das?

Anteil am Ganzen: $\mathsf{36:120=0{,}3}$

Prozentzahl: $\mathsf{0{,}3\cdot100=30}$

Erklärung 04

Gleicher Grundwert oder anderer Bezug?

Anteile mit demselben Grundwert lassen sich addieren oder subtrahieren, wenn ihre Bedeutung das erlaubt. Bei verschiedenen Grundwerten musst du zuerst die zugehörigen Mengen berechnen. Disjunkte Gruppen dürfen addiert werden; überlappende Gruppen würden dabei doppelt gezählt. Ein Anteil von einem Anteil wird durch Multiplizieren der Faktoren berechnet.

Prüfe Grundwert, Einheit und mögliche Überschneidung.
Bei gleichem Grundwert rechne mit den Anteilfaktoren.
Bei einem Anteil vom Anteil multipliziere die Faktoren.

Prozentzahlen allein verraten nicht, ob derselbe Bezug verwendet wird.

Von 200 Personen fahren 40 Prozent, also 80, mit dem Bus. 25 Prozent dieser 80, also 20 Personen, besitzen eine Monatskarte.

So geht es am Beispiel

Von denselben 200 Bällen sind 20 % rot und 15 % blau. Kein Ball hat beide Farben. Wie viele sind rot oder blau?

Prozentzahlen addieren: $\mathsf{20+15=35}$

Faktor: $\mathsf{35:100=0{,}35}$

Anzahl: $\mathsf{200\cdot0{,}35=70}$

So geht es am Beispiel

Von 200 Personen fahren 40 % mit dem Bus. Von diesen Busfahrenden haben 25 % eine Monatskarte. Wie viele Personen sind das?

Busfahrende: $\mathsf{200\cdot0{,}4=80}$

Davon mit Monatskarte: $\mathsf{80\cdot0{,}25=20}$

Gesamtfaktor: $\mathsf{0{,}4\cdot0{,}25=0{,}1}$

So geht es am Beispiel

Berechne die Differenz: 10 % von 200 € minus 20 % von 50 €.

Erster Prozentwert: $\mathsf{200\cdot0{,}1=20}$

Zweiter Prozentwert: $\mathsf{50\cdot0{,}2=10}$

Differenz der Geldbeträge: $\mathsf{20-10=10}$

Erklärung 05

Prozent und Prozentpunkte

Die Differenz zweier Prozentsätze wird in Prozentpunkten angegeben. Eine relative prozentuale Änderung bezieht diese Differenz dagegen auf den vorherigen Prozentsatz. Ein Balken mit benanntem 100-%-Ganzen kann Anteile sichtbar machen. Achte beim Vergleich mehrerer Balken darauf, ob ihre Grundwerte gleich sind.

Weiterlernen: „Prozentrechnung Aufgaben“ bietet gemischte Anwendungen, „Prozentrechnung Formel“ erklärt Umstellungen und Änderungsfaktoren.

Bestimme zuerst die Differenz der Prozentzahlen.
Benenne diese Differenz als Prozentpunkte.
Für eine relative Änderung teile zusätzlich durch den alten Wert.

Prozentpunkte und relative Prozentänderung beantworten verschiedene Fragen.

Zwei gleichlange Balken stellen jeweils 100 Prozent dar. Der erste ist zu 20 Prozent, der zweite zu 30 Prozent markiert. Die Differenz beträgt 10 Prozentpunkte.

So geht es am Beispiel

Eine Quote steigt von 20 % auf 30 %. Gib den Anstieg in Prozentpunkten und relativ zum alten Wert an.

Differenz: $\mathsf{30-20=10}$ Prozentpunkte

Relativer Faktor: $\mathsf{10:20=0{,}5}$

Relative Prozentzahl: $\mathsf{0{,}5\cdot100=50}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Prozentrechnung · BasisVon 60 Büchern sind 15 Sachbücher. Benenne Grundwert und Prozentwert mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundwert
Prozentwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Ganze sind alle 60 Bücher; betrachtet werden 15 Sachbücher.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Grundwert60 Bücher
2. Prozentwert15 Bücher
02
Aufgabe 2Prozentrechnung · BasisBerechne 20 % von 150 kg.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{20:100=0{,}2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Anteil: $\mathsf{150\cdot0{,}2=30}$
Ergebnis
1. Prozentwert30 kg
03
Aufgabe 3Prozentrechnung · Basis24 Liter sind 40 % eines Behältervolumens. Wie groß ist das gesamte Volumen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamtvolumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{40:100=0{,}4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Grundwert: $\mathsf{24:0{,}4=60}$
Ergebnis
1. Gesamtvolumen60 l
04
Aufgabe 4Prozentrechnung · ÜbungVon 80 Personen sind 12 mit dem Fahrrad gekommen. Wie viel Prozent sind das?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{12:80=0{,}15}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}15\cdot100=15}$
Ergebnis
1. Prozentsatz15 %
05
Aufgabe 5Prozentrechnung · ÜbungBerechne 150 % von 40 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Länge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{150:100=1{,}5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Anteil: $\mathsf{40\cdot1{,}5=60}$
Ergebnis
1. Länge60 cm
06
Aufgabe 6Prozentrechnung · ÜbungVon denselben 200 Karten sind 35 % markiert. 10 % aller Karten sind zusätzlich mit einem Stern markiert und gehören bereits zu den markierten Karten. Wie viele markierte Karten haben keinen Stern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl ohne Stern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Anteil ohne Stern: $\mathsf{35-10=25}$ Prozent
2. Schritt 2 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{25:100=0{,}25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Anzahl: $\mathsf{200\cdot0{,}25=50}$
Ergebnis
1. Anzahl ohne Stern50 Karten
07
Aufgabe 7Prozentrechnung · TransferBerechne 20 % von 50 € und 20 % von 200 € einzeln. Sind die beiden Prozentwerte gleich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil von 50 €
Anteil von 200 €
Gleich?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Anteil: $\mathsf{50\cdot0{,}2=10}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Anteil: $\mathsf{200\cdot0{,}2=40}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Grundwerte sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anteil von 50 €10 €
2. Anteil von 200 €40 €
3. Gleich?Nein.
4. BegründungDer gleiche Prozentsatz wird auf verschiedene Grundwerte angewendet.
08
Aufgabe 8Prozentrechnung · TransferVon 300 Personen nehmen 60 % an einem Kurs teil. Von den Teilnehmenden lösen 50 % eine Zusatzaufgabe. Wie viele Personen lösen sie?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teilnehmende: $\mathsf{300\cdot0{,}6=180}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zusatzaufgabe: $\mathsf{180\cdot0{,}5=90}$
Ergebnis
1. Anzahl90 Personen
09
Aufgabe 9Prozentrechnung · TransferEine Quote sinkt von 40 % auf 30 %. Gib die Abnahme in Prozentpunkten und relativ zum alten Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abnahme in Prozentpunkten
Relative Abnahme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Differenz: $\mathsf{40-30=10}$ Prozentpunkte
2. Schritt 2 · Erklärung
  Relativer Faktor: $\mathsf{10:40=0{,}25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Relative Prozentzahl: $\mathsf{0{,}25\cdot100=25}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Abnahme in Prozentpunkten10 Prozentpunkte
2. Relative Abnahme25 %

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne das Ganze als 100 %.
Ich unterscheide G, W, Prozentzahl p und Faktor d.
Ich rechne jede der drei Größen aus passenden Angaben aus.
Ich unterscheide Prozentpunkte und relative Prozentänderung.

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