Prozentrechnung · Erklären & üben

Prozentrechnung Formel

Die Formeln der Prozentrechnung beschreiben das Verhältnis zwischen Ganzem und Anteil. Wir verwenden p für die Prozentzahl, p % für den Prozentsatz und d für den Dezimalfaktor p durch 100.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Verhältnisgleichung

Der Prozentwert W entsteht aus dem Grundwert G und dem Anteilfaktor d. G und W haben dieselbe Einheit. Der Faktor hat keine Einheit. Wenn du bereits mit 0,2 für 20 % rechnest, darfst du nicht noch einmal durch 100 teilen.

Benenne Grundwert und Anteil.
Wandle p in d um.
Multipliziere G mit d.

$\mathsf{W=Gd=G\cdot\frac{p}{100}}$

So geht es am Beispiel

Berechne 15 % von 240 €.

Faktor: $\mathsf{15:100=0{,}15}$

Prozentwert: $\mathsf{240\cdot0{,}15=36}$

Erklärung 02

Die Grundformel umstellen

Zum Umstellen teilst du durch den bekannten, von null verschiedenen Faktor. Für G brauchst du d ungleich null; für d beziehungsweise p brauchst du G ungleich null. Bei d gleich null ist W für jedes G null, sodass W gleich null den Grundwert nicht eindeutig bestimmt.

Bestimme die gesuchte Größe.
Prüfe, ob der notwendige Divisor ungleich null ist.
Setze mit passenden Einheiten ein.

$\mathsf{G=\frac{W}{d}}$ für $\mathsf{d\ne0}$ $\mathsf{d=\frac{W}{G}}$ und $\mathsf{p=100d}$ für $\mathsf{G\ne0}$

So geht es am Beispiel

45 m entsprechen 30 % einer Strecke. Bestimme die ganze Strecke.

Faktor: $\mathsf{30:100=0{,}3}$

Grundwert: $\mathsf{45:0{,}3=150}$

So geht es am Beispiel

Von 90 kg werden 27 kg verwendet. Bestimme den Prozentsatz.

Faktor: $\mathsf{27:90=0{,}3}$

Prozentzahl: $\mathsf{0{,}3\cdot100=30}$

Erklärung 03

Ein Formeldreieck als Merkhilfe

Im Formeldreieck steht W oben und stehen G und d unten. Deckst du W ab, bleiben G und d als Produkt. Deckst du G oder d ab, ergibt sich der entsprechende Quotient. Das Dreieck ist eine Merkhilfe für die bereits begründete Gleichung. Es enthält d und nicht die Prozentzahl p.

Benenne die gesuchte Größe.
Lies Produkt oder Quotient ab.
Prüfe weiterhin die Nichtnullbedingung.

Die Prozentzahl muss vor dem Einsatz als d durch 100 geteilt werden.

Formeldreieck mit W oben, G links unten und d rechts unten. Die Grundgleichung lautet W gleich G mal d; d ist p geteilt durch 100.

Erklärung 04

Neuer Wert und Ausgangswert

Bei einer Veränderung ist der neue Wert N nicht nur der Änderungsbetrag. Eine Erhöhung um p % verwendet den Faktor 1 plus d, eine Verringerung um p % den Faktor 1 minus d. Der Ausgangswert A ist jeweils das 100-%-Ganze. Zur Rückrechnung teilst du N durch den Änderungsfaktor. Dieser darf nicht null sein. Eine Verringerung um 100 % liefert immer null; aus diesem Ergebnis allein lässt sich A nicht zurückgewinnen.

Benenne Ausgangswert und neuen Wert.
Bilde den Änderungsfaktor mit 1 plus oder minus d.
Multipliziere vorwärts oder dividiere rückwärts.

$\mathsf{N=A(1+d)}$ oder $\mathsf{N=A(1-d)}$ $\mathsf{A=\frac{N}{f}}$ für Änderungsfaktor $\mathsf{f\ne0}$

Ein Ausgangspreis von 80 Euro wird mit dem Faktor 1,25 auf 100 Euro erhöht. Der Änderungsbetrag ist nur 20 Euro.

Die unterschiedlichen Ausgangswerte 100 Euro und 200 Euro werden bei einer Verringerung um 100 Prozent beide zu null. Aus dem Endwert allein lässt sich der Ausgangswert nicht rekonstruieren.

So geht es am Beispiel

Ein Modellpreis von 80 € steigt um 25 %. Berechne den neuen Preis.

Anteilfaktor: $\mathsf{25:100=0{,}25}$

Änderungsfaktor: $\mathsf{1+0{,}25=1{,}25}$

Neuer Wert: $\mathsf{80\cdot1{,}25=100}$

So geht es am Beispiel

Ein Modellpreis von 200 € sinkt um 15 %. Berechne den neuen Preis.

Anteilfaktor: $\mathsf{15:100=0{,}15}$

Änderungsfaktor: $\mathsf{1-0{,}15=0{,}85}$

Neuer Wert: $\mathsf{200\cdot0{,}85=170}$

So geht es am Beispiel

Nach einer Verringerung um 20 % beträgt ein Modellpreis 72 €. Berechne den ursprünglichen Preis.

Änderungsfaktor: $\mathsf{1-0{,}2=0{,}8}$

Rückrechnung: $\mathsf{72:0{,}8=90}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Prozentrechnung Formel · BasisBerechne 12 % von 250 kg.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{12:100=0{,}12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{250\cdot0{,}12=30}$
Ergebnis
1. Prozentwert30 kg
02
Aufgabe 2Prozentrechnung Formel · Basis36 € entsprechen 15 % des Grundwerts. Berechne diesen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{15:100=0{,}15}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{36:0{,}15=240}$
Ergebnis
1. Grundwert240 €
03
Aufgabe 3Prozentrechnung Formel · Basis21 von 70 Stimmen entfallen auf einen Vorschlag. Bestimme den Prozentsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{21:70=0{,}3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{0{,}3\cdot100=30}$
Ergebnis
1. Prozentsatz30 %
04
Aufgabe 4Prozentrechnung Formel · ÜbungEin Modellpreis von 120 € steigt um 10 %. Berechne Erhöhungsbetrag und neuen Preis einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erhöhungsbetrag
Neuer Preis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erhöhungsbetrag: $\mathsf{120\cdot0{,}1=12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Neuer Preis: $\mathsf{120+12=132}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erhöhungsbetrag12 €
2. Neuer Preis132 €
05
Aufgabe 5Prozentrechnung Formel · ÜbungEine Füllmenge von 80 l wird um 25 % verringert. Berechne die neue Menge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neue Menge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-0{,}25=0{,}75}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Neue Menge: $\mathsf{80\cdot0{,}75=60}$
Ergebnis
1. Neue Menge60 l
06
Aufgabe 6Prozentrechnung Formel · ÜbungNach einer Erhöhung um 20 % beträgt ein Modellpreis 144 €. Berechne den Ausgangspreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgangspreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1+0{,}2=1{,}2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rückrechnung: $\mathsf{144:1{,}2=120}$
Ergebnis
1. Ausgangspreis120 €
07
Aufgabe 7Prozentrechnung Formel · TransferNach 30 % Rabatt beträgt ein Modellpreis 84 €. Berechne den Preis vor dem Rabatt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ursprünglicher Preis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-0{,}3=0{,}7}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rückrechnung: $\mathsf{84:0{,}7=120}$
Ergebnis
1. Ursprünglicher Preis120 €
08
Aufgabe 8Prozentrechnung Formel · Transfer0 € entsprechen 0 % eines unbekannten Grundwerts. Ist der Grundwert eindeutig bestimmbar? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eindeutig bestimmbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist null. Jeder Grundwert ergibt beim Multiplizieren mit null denselben Anteil null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eindeutig bestimmbar?Nein.
2. BegründungAus G mal 0 gleich 0 ergibt sich kein eindeutiger Grundwert. Eine Division durch den Faktor 0 ist nicht erlaubt.
09
Aufgabe 9Prozentrechnung Formel · TransferEin Ausgangswert wurde um 100 % verringert und ist nun 0. Lässt er sich daraus eindeutig zurückrechnen? Nenne den Änderungsfaktor und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Änderungsfaktor
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-1=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jeder Ausgangswert wird mit diesem Faktor zu null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Änderungsfaktor0
3. BegründungDer Faktor null löscht die Information über den Ausgangswert. Durch null darf nicht zurückdividiert werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich stelle W = Gd mit Bedingungen um.
Ich setze Prozentzahl und Dezimalfaktor korrekt ein.
Ich unterscheide Änderungsbetrag und neuen Wert.
Ich rechne durch einen nichtnull Änderungsfaktor zurück.

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