Grundwert, Anteil und Prozentsatz · Erklären & üben

Prozentsatz berechnen

Der Prozentsatz beschreibt, wie groß ein Wert im Verhältnis zu einer Bezugsgröße ist. Dafür müssen beide Mengen auf dieselbe Einheit gebracht werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Verhältnis auf hundert beziehen

Für Grundwert G ungleich null und Prozentwert W ist die Prozentzahl $\mathsf{p=\frac WG\cdot100}$ . Der Quotient W durch G ist zunächst der Faktor ohne Prozentzeichen. Durch die Angabe in Prozent wird er auf hundert bezogen. Beispiel: Faktor 0,4 entspricht 40 Prozent. In üblichen Mengenaufgaben ist der Grundwert positiv.

Bestimme die Bezugsgröße
Teile den Vergleichswert durch sie und multipliziere mit hundert.

Der Nenner ist der Grundwert, nicht automatisch die größere Zahl.

Eine rechteckige Pizza ist in zehn gleich große Stücke geteilt. Vier sind gefärbt. Das Verhältnis vier zu zehn entspricht dem Faktor null Komma vier und vierzig Prozent.

So geht es am Beispiel

Von zehn gleich großen Pizzastücken werden vier gegessen. Wie viel Prozent sind das?

$\mathsf{p=\frac4{10}\cdot100}$

$\mathsf{p=40}$

So geht es am Beispiel

75 Euro werden mit einem Grundwert von 300 Euro verglichen. Bestimme den Prozentsatz.

$\mathsf{p=\frac{75}{300}\cdot100}$

$\mathsf{p=25}$

Erklärung 02

Einheiten und Dreisatz

Grundwert und Prozentwert müssen in derselben Einheit vorliegen, damit ihr Verhältnis stimmt. Alternativ berechnest du zuerst die Menge zu einem Prozent des Grundwerts. Teile den Prozentwert dann durch diese Menge; das Ergebnis ist die Prozentzahl.

Wandle die Einheiten passend um
Berechne erst danach das Verhältnis.

Gleiche Einheiten kürzen sich im Verhältnis.

Zwei Kilogramm werden zuerst in zweitausend Gramm umgewandelt. Zweihundertfünfzig Gramm geteilt durch zweitausend Gramm ergibt null Komma eins zwei fünf, also zwölf Komma fünf Prozent.

So geht es am Beispiel

250 Gramm sind wie viel Prozent von zwei Kilogramm?

$\mathsf{2\,\mathsf{kg}=2000\,\mathsf{g}}$

$\mathsf{p=\frac{250}{2000}\cdot100}$

$\mathsf{p=12{,}5}$

So geht es am Beispiel

14 von 35 Spielern sind neu im Verein. Rechne über ein Prozent.

$\mathsf{35:100=0{,}35}$

$\mathsf{14:0{,}35=40}$

Erklärung 03

Änderungsprozentsatz und Vergleichsprozentsatz

Bei einer Preisänderung ist der Änderungsbetrag zunächst die Differenz zwischen altem und neuem Preis. Für die Änderung bezogen auf den alten Preis ist dieser der Grundwert. Der neue Preis als Prozentsatz des alten ist eine andere Frage. Bei einer Erhöhung um zwanzig Prozent beträgt der neue Preis hundertzwanzig Prozent des alten.

Berechne bei Änderungen zuerst die Differenz
Benenne den verwendeten Grundwert ausdrücklich.

Änderung in Prozent und neuer Gesamtwert in Prozent unterscheiden.

Alter Wert achtzig und neuer Wert hundert werden im gleichen Maßstab dargestellt. Der Zuwachs zwanzig entspricht fünfundzwanzig Prozent des alten Werts; der neue Gesamtwert entspricht hundertfünfundzwanzig Prozent.

So geht es am Beispiel

Eine Konsole wird von 450 Euro um 54 Euro günstiger. Wie viel Prozent Rabatt sind das?

$\mathsf{p=\frac{54}{450}\cdot100}$

$\mathsf{p=12}$

So geht es am Beispiel

Ein Wert steigt von 80 auf 100. Nenne den Änderungsprozentsatz und den neuen Wert in Prozent des alten.

$\mathsf{100-80=20}$

$\mathsf{\frac{20}{80}\cdot100=25}$

$\mathsf{\frac{100}{80}\cdot100=125}$

Erklärung 04

Rückfragen und Grenzen

Eine Prozentzahl wird erst zusammen mit ihrer Bezugsgröße eindeutig. Bei Grundwert null ist die Formel nicht anwendbar. Sind Prozentwert und Grundwert beide null, bestimmt das Verhältnis keinen eindeutigen Prozentsatz. Prozentwert berechnen behandelt die umgekehrte Frage nach einer Menge bei gegebenem Prozentsatz.

Prüfe den Nenner und den Bezug
Runde erst am Ende und kennzeichne Näherungen.

Ohne zulässigen Grundwert gibt es keinen eindeutigen Verhältniswert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Prozentsatz berechnen · 1Wie viel Prozent sind 28 von 140 Sitzplätzen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{p=\frac{28}{140}\cdot100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=20}$
Ergebnis
1. Prozentsatz20 Prozent
02
Aufgabe 2Prozentsatz berechnen · 1Von zwölf gleich großen Pizzastücken sind neun übrig. Wie viel Prozent sind übrig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verbleibender Prozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{p=\frac9{12}\cdot100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=75}$
Ergebnis
1. Verbleibender Prozentsatz75 Prozent
03
Aufgabe 3Prozentsatz berechnen · 2Wie viel Prozent sind 450 Gramm von drei Kilogramm?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{3\,\mathsf{kg}=3000\,\mathsf{g}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=\frac{450}{3000}\cdot100}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{p=15}$
Ergebnis
1. Prozentsatz15 Prozent
04
Aufgabe 4Prozentsatz berechnen · 2Eine Konsole kostet statt 600 Euro nur noch 510 Euro. Berechne den Rabattbetrag und den Rabattprozentsatz bezogen auf den alten Preis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rabattbetrag
Rabattprozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{600-510=90}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=\frac{90}{600}\cdot100}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{p=15}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rabattbetrag90 Euro
2. Rabattprozentsatz15 Prozent
05
Aufgabe 5Prozentsatz berechnen · 2Von 48 Spielern nehmen 30 am Turnier teil. Wie viel Prozent sind das?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{p=\frac{30}{48}\cdot100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=62{,}5}$
Ergebnis
1. Prozentsatz62,5 Prozent
06
Aufgabe 6Prozentsatz berechnen · 2Ein Ziel beträgt 160 Einheiten, erreicht werden 200. Berechne den erreichten Prozentsatz und die prozentuale Überschreitung des Ziels.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erreichter Prozentsatz
Überschreitung des Ziels
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{200}{160}\cdot100=125}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{200-160=40}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{40}{160}\cdot100=25}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erreichter Prozentsatz125 Prozent
2. Überschreitung des Ziels25 Prozent
07
Aufgabe 7Prozentsatz berechnen · 3Ein Anteil von 46 Euro entspricht 20 Prozent. Bestimme den Grundwert und erkläre, welche Umkehrfrage hier vorliegt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundwert
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{G=\frac{46\,\mathsf{Euro}}{0{,}20}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{G=230\,\mathsf{Euro}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Grundwert230 Euro
2. ErklärungDie Prozentangabe ist bereits bekannt. Gesucht ist die Bezugsgröße, aus der zwanzig Prozent den Anteil sechsundvierzig Euro ergeben.
08
Aufgabe 8Prozentsatz berechnen · 3Ein Preis steigt von 200 Euro auf 250 Euro. Jemand teilt die Erhöhung von 50 Euro durch den neuen Preis und nennt 20 Prozent Preiserhöhung. Ist das bezogen auf den alten Preis richtig? Korrigiere und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtige Preiserhöhung
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{p=\frac{50}{200}\cdot100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=25}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Richtige Preiserhöhung25 Prozent
3. BegründungDie Erhöhung wird auf den ursprünglichen Preis von zweihundert Euro bezogen. Der neue Preis wäre eine andere Bezugsgröße.
09
Aufgabe 9Prozentsatz berechnen · 3Kann aus Anteil null und Grundwert null ein eindeutiger Prozentsatz berechnet werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eindeutig berechenbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Verhältnisformel würde null durch null teilen. Das ist nicht definiert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Gleichung Anteil gleich Grundwert mal Prozentfaktor wäre für jeden Faktor erfüllt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eindeutig berechenbar?Nein
2. BegründungDie Division durch den Grundwert null ist nicht erlaubt. Die beiden Nullangaben legen keinen eindeutigen Prozentsatz fest.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne die Bezugsgröße.
Ich unterscheide Prozentzahl, Prozentfaktor und Mengenwert.
Ich prüfe Einheit und gesuchte Größe.

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