Steigung · Erklären & üben

Prozentuale Steigung berechnen

Eine prozentuale Steigung vergleicht die Höhenänderung mit der waagerechten Strecke. Die entlang einer Straße oder Rampe gemessene Schräglänge ist dafür nicht der Nenner.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Höhe geteilt durch waagerechte Strecke

Für eine waagerechte Strecke d>0 und Höhenänderung h ist die Steigung p=100·h/d Prozent. Höhe und waagerechte Strecke müssen dieselbe Längeneinheit besitzen.

10 Prozent bedeuten: pro 100 m waagerechter Strecke steigt die Höhe um 10 m. Bei einem Gefälle in der gewählten Richtung ist h negativ; entsprechend ist p negativ.

$\mathsf{p=100\frac hd\quad\textsf{in Prozent},\qquad d>0}$

So geht es am Beispiel

Eine Straße gewinnt 18 m Höhe auf 300 m waagerechter Strecke. Berechne p.

$\mathsf{m=18/300=0{,}06}$ — Verhältnis.

$\mathsf{p=100\cdot0{,}06=6}$ — Prozentwert.

Erklärung 02

Höhe oder Strecke ausrechnen

Aus p=100h/d folgt h=(p/100)d. Für eine positive Steigung p>0 und vorgegebene Höhe gilt d=100h/p.

Wandle Zentimeter und Meter vor dem Quotienten um. Die Einheiten kürzen sich erst, wenn sie gleich sind.

So geht es am Beispiel

Eine Rampe soll auf 5 m waagerechter Länge um 40 cm ansteigen.

$\mathsf{40\ \mathsf{cm}=0{,}40\ \mathsf m}$ — gleiche Einheiten.

$\mathsf{p=100\cdot0{,}40/5}$ — einsetzen.

$\mathsf{p=8}$ — ausrechnen.

Erklärung 03

Schräglänge ist die Hypotenuse

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Schräglänge l die Hypotenuse. Falls l und h gegeben sind, berechnest du zunächst d=√(l²−h²).

100h/l beschreibt ein anderes Verhältnis und ist nicht die übliche prozentuale Steigung. Die Skizze ist bei großen Prozentwerten besonders wichtig.

Beschriftetes rechtwinkliges Rampendreieck unterscheidet Höhe, waagerechte Strecke und Schräglänge; schematisch ausgewiesen.

So geht es am Beispiel

Eine gerade Rampe ist 5 m lang und überwindet 3 m Höhe. Bestimme ihre prozentuale Steigung.

$\mathsf{d^2=5^2-3^2}$ — Satz des Pythagoras.

$\mathsf{d^2=25-9=16}$ — ausrechnen.

$\mathsf{d=4}$ — positive Länge.

$\mathsf{p=100\cdot3/4=75}$ — Höhen-/Horizontalverhältnis.

Erklärung 04

Winkel und Prozent sind verschieden

Bei einem Steigungswinkel α zur Waagerechten gilt tan α=h/d. Daher ist p=100 tan α und α=arctan(p/100). Verwende den Gradmodus, wenn ein Winkel in Grad gesucht ist.

100 % bedeutet h=d und damit α=45°. 100 % ist keine senkrechte Wand. Für α gegen 90° wächst der Prozentwert unbegrenzt; bei d=0 ist kein endlicher Wert definiert.

Die Rechnung beschreibt eine gerade Rampe beziehungsweise die mittlere Steigung zwischen den Endpunkten. Eine reale Strecke kann zwischendurch steilere und flachere Abschnitte haben.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Winkel bei 10 % Steigung.

$\mathsf{\tan\alpha=10/100=0{,}1}$ — Verhältnis.

$\mathsf{\alpha=\arctan(0{,}1)}$ — Umkehrfunktion.

$\mathsf{\alpha\approx5{,}71^\circ}$ — Gradmodus.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Prozentuale Steigung berechnen · GrundlagenBerechne die Steigung bei 12 m Höhengewinn auf 200 m waagerechter Strecke.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=100\cdot12/200}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=6}$ — berechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis6 %.
02
Aufgabe 2Prozentuale Steigung berechnen · GrundlagenEine Strecke fällt in Fahrtrichtung um 15 m bei 250 m waagerechter Strecke. Gib die vorzeichenbehaftete Steigung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=-15}$ — Gefälle.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=100\cdot(-15)/250=-6}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis−6 %, also 6 % Gefälle.
03
Aufgabe 3Prozentuale Steigung berechnen · GrundlagenWie viel Höhe gewinnt eine Gerade mit 8 % auf 150 m waagerechter Strecke?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=(8/100)\cdot150}$ — umstellen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=12}$ — Meter.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis12 m.
04
Aufgabe 4Prozentuale Steigung berechnen · AnwendenWelche waagerechte Länge ist für 0,6 m Höhengewinn bei 5 % erforderlich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=100\cdot0{,}6/5}$ — umstellen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=12}$ — Meter.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis12 m waagerecht.
05
Aufgabe 5Prozentuale Steigung berechnen · AnwendenBerechne die Steigung bei 25 cm Höhengewinn auf 2,5 m waagerechter Strecke.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{25\ \mathsf{cm}=0{,}25\ \mathsf m}$ — umrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=100\cdot0{,}25/2{,}5=10}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis10 %.
06
Aufgabe 6Prozentuale Steigung berechnen · AnwendenEine Rampe hat Schräglänge 13 m und Höhe 5 m. Berechne d und p.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d^2=13^2-5^2=144}$ — Pythagoras.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=12}$ — positive Wurzel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=100\cdot5/12\approx41{,}67}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisd=12 m, p≈41,67 %.
07
Aufgabe 7Prozentuale Steigung berechnen · AnwendenWelcher Winkel gehört zu 100 %? Begründe ohne Tabellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h/d=100/100=1}$ — gleiche Katheten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\tan\alpha=1}$ — Winkelverhältnis.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\alpha=45^\circ}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis45°.
08
Aufgabe 8Prozentuale Steigung berechnen · VertiefenBerechne die prozentuale Steigung zu α=30°. Runde auf eine Nachkommastelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=100\tan30^\circ}$ — Formel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p\approx57{,}735}$ — Gradmodus.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p\approx57{,}7}$ — runden.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisEtwa 57,7 %.
09
Aufgabe 9Prozentuale Steigung berechnen · VertiefenErgänze in der gegebenen Rampenskizze die waagerechte Länge d und den Prozentwert. Erkläre, warum 3/5 nicht der richtige Steigungsquotient ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{d=\sqrt{25-9}=4}$ — waagerechte Strecke.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{p=100\cdot3/4=75}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  5 m sind die Schräglänge, nicht die waagerechte Länge.
Ergebnis
1. Antwort und Begründungd=4 m, p=75 %.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende dieselbe Punktreihenfolge in beiden Differenzen.
Ich unterscheide waagerechte und schräge Länge.
Ich beachte Einheiten und Vorzeichen.

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