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Steigung · Erklären & üben

Steigung berechnen

Die Steigung einer Geraden beschreibt die Änderung von y pro Einheit in x-Richtung. Ein Steigungsdreieck macht diese beiden Änderungen sichtbar.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Punkte und ein Quotient

Für zwei verschiedene Punkte A(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) mit x₁≠x₂ gilt m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁). Verwende in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge.

Vertauschst du beide Punkte, wechseln beide Differenzen ihr Vorzeichen. Der Quotient bleibt gleich. Die Steigung gehört zur Geraden, nicht zu einem bestimmten Punktpaar.

m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1(x1≠x2)\mathsf{m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\ne x_2)}

So geht es am Beispiel

Berechne die Steigung durch A(1|2) und B(4|8).

Δy=8−2=6\mathsf{\Delta y=8-2=6} — Höhenänderung.

Δx=4−1=3\mathsf{\Delta x=4-1=3} — waagerechte Änderung.

m=6/3=2\mathsf{m=6/3=2} — Quotient.

Ergebnis

Pro Schritt nach rechts steigt y um 2.

Erklärung 02

Steigungsdreieck am Graphen

Wähle zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden. Gehe vom ersten Punkt waagerecht zum x-Wert des zweiten und dann senkrecht zum zweiten Punkt.

Die waagerechte Kathete beschreibt Δx, die senkrechte Δy. Lies die Zahlenwerte der Achsen ab: Kästchenzahlen allein reichen bei unterschiedlichen Skalierungen nicht.

Größere Steigungsdreiecke auf derselben Geraden liefern denselben Quotienten. Bei einem ungenau gedruckten Graphen ist das Ablesen entsprechend näherungsweise.

Gerade und exakt skaliertes Steigungsdreieck zwischen A(−1|0) und B(1|2), beide Differenzen sind 2.

Erklärung 03

Vorzeichen und besondere Geraden

Eine von links nach rechts steigende Gerade hat m>0, eine fallende m<0. Eine waagerechte Gerade hat m=0.

Bei einer senkrechten Geraden sind die x-Koordinaten gleich. Der Nenner ist null, deshalb besitzt sie keine endliche Steigung m und kann nicht als y=mx+b beschrieben werden.

Die Aussage „m ist unendlich“ ersetzt keine reelle Steigungszahl. Die senkrechte Gerade wird beispielsweise durch x=2 beschrieben.

So geht es am Beispiel

Bestimme m durch A(−2|5) und B(1|−1).

Δy=−1−5=−6\mathsf{\Delta y=-1-5=-6} — Höhenänderung.

Δx=1−(−2)=3\mathsf{\Delta x=1-(-2)=3} — x-Änderung.

m=−6/3=−2\mathsf{m=-6/3=-2} — Steigung.

Ergebnis

Fallende Gerade mit m=−2.

Erklärung 04

Einheiten, Parallelen und Senkrechte

Ist y eine Strecke in Metern und x eine Zeit in Sekunden, hat m die Einheit Meter pro Sekunde. Bei anderen Achsengrößen ändert sich die Einheit entsprechend.

Geraden mit gleicher endlicher Steigung sind parallel oder identisch. Für senkrechte Geraden mit endlichen Steigungen gilt m₁m₂=−1, wenn beide Koordinatenachsen dieselbe geometrische Einheit verwenden.

Eine waagerechte und eine senkrechte Gerade stehen ebenfalls senkrecht aufeinander; dieser Sonderfall wird nicht über das Produkt zweier endlicher Steigungen beschrieben.

So geht es am Beispiel

Welche Steigung hat eine Senkrechte zu m=2?

2m2=−1\mathsf{2m_2=-1} — Produktbedingung.

m2=−1/2\mathsf{m_2=-1/2} — durch 2 teilen.

Ergebnis

m₂=−1/2 bei üblichem kartesischem Koordinatensystem.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Steigung berechnen · GrundlagenBerechne m durch A(0|1), B(2|7).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Δy=7−1=6\mathsf{\Delta y=7-1=6}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Δx=2−0=2\mathsf{\Delta x=2-0=2}.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      m=6/2=3\mathsf{m=6/2=3}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis3.
  2. Aufgabe 2Steigung berechnen · GrundlagenBerechne m durch A(−3|4), B(1|−4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Δy=−4−4=−8\mathsf{\Delta y=-4-4=-8}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Δx=1−(−3)=4\mathsf{\Delta x=1-(-3)=4}.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      m=−8/4=−2\mathsf{m=-8/4=-2}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis−2.
  3. Aufgabe 3Steigung berechnen · GrundlagenBerechne m durch A(−1|3), B(5|3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Δy=3−3=0\mathsf{\Delta y=3-3=0}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Δx=5−(−1)=6\mathsf{\Delta x=5-(-1)=6}.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      m=0/6=0\mathsf{m=0/6=0}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis0; waagerechte Gerade.
  4. Aufgabe 4Steigung berechnen · AnwendenUntersuche A(2|−1), B(2|4). Kannst du eine endliche Steigung angeben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Δx=2−2=0\mathsf{\Delta x=2-2=0}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Δy=4−(−1)=5\mathsf{\Delta y=4-(-1)=5}.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Division durch null ist nicht definiert.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisSenkrechte Gerade x=2, keine endliche Steigung.
  5. Aufgabe 5Steigung berechnen · AnwendenEin Weg-Zeit-Graph enthält (2 s|5 m) und (6 s|17 m). Bestimme die Steigung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Δs=17−5=12\mathsf{\Delta s=17-5=12} — m.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Δt=6−2=4\mathsf{\Delta t=6-2=4} — s.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      m=12/4=3\mathsf{m=12/4=3} — m/s.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis3 m/s.
  6. Aufgabe 6Steigung berechnen · AnwendenEin Steigungsdreieck umfasst 3 Rasterabstände waagerecht und 2 nach oben. Pro waagerechtem Abstand gelten 2 x-Einheiten, pro senkrechtem 3 y-Einheiten. Bestimme m.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Δx=3⋅2=6\mathsf{\Delta x=3\cdot2=6}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Δy=2⋅3=6\mathsf{\Delta y=2\cdot3=6}.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      m=6/6=1\mathsf{m=6/6=1}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis1, nicht 2/3.
  7. Aufgabe 7Steigung berechnen · AnwendenEine Gerade hat m=−3. Nenne die Steigung einer parallelen und einer senkrechten Geraden bei gleicher geometrischer Achseneinheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      mparallel=−3\mathsf{m_{parallel}=-3} — gleiche Steigung.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      −3msenkrecht=−1\mathsf{-3m_{senkrecht}=-1} — Produktbedingung.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      msenkrecht=1/3\mathsf{m_{senkrecht}=1/3}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisParallel −3; senkrecht 1/3.
  8. Aufgabe 8Steigung berechnen · VertiefenBerechne die Steigung durch A(1|2),B(3|6) in beiden Punktreihenfolgen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      m=(6−2)/(3−1)=4/2=2\mathsf{m=(6-2)/(3-1)=4/2=2}.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      m=(2−6)/(1−3)=(−4)/(−2)=2\mathsf{m=(2-6)/(1-3)=(-4)/(-2)=2}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisBeide Ergebnisse 2; beide Differenzen wechseln gemeinsam das Vorzeichen.
  9. Aufgabe 9Steigung berechnen · VertiefenZeichne ein Steigungsdreieck zwischen den gegebenen Punkten A(−1|0) und B(1|2). Beschrifte Δx, Δy und berechne m.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Δx=1−(−1)=2\mathsf{\Delta x=1-(-1)=2}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Δy=2−0=2\mathsf{\Delta y=2-0=2}.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      m=2/2=1\mathsf{m=2/2=1}.

    Ergebnis

    1. Antwort und BegründungΔx=2, Δy=2, m=1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich verwende dieselbe Punktreihenfolge in beiden Differenzen.
  • Ich unterscheide waagerechte und schräge Länge.
  • Ich beachte Einheiten und Vorzeichen.

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