Prozente im Alltag · Erklären & üben

Prozentuale Veränderung berechnen

Eine prozentuale Veränderung vergleicht die Zu- oder Abnahme mit dem Ausgangswert. Der Bezugswert entscheidet, wie groß die Veränderung in Prozent ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ausgangswert und Veränderung

Der Ausgangswert A ist der Bezugswert. Der neue Wert heißt N. Die absolute Änderung ist $\mathsf{\Delta=N-A}$ . In unseren Sachbeispielen ist A positiv. Allgemein setzt eine relative Änderung $\mathsf{A\ne0}$ voraus.

Benenne den Ausgangswert.
Subtrahiere alt von neu.
Dividiere durch alt und schreibe das Ergebnis in Prozent.

$\mathsf{r=\frac{N-A}{A}}$ ; die Prozentangabe lautet $\mathsf{r\cdot100\,\%}$ .

Von 80 auf 100: gleicher Maßstab. Alt: 80 Stück, Neu: 100 Stück. 20 zusätzliche Stück sind 25 % des alten Werts 80.

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Werkstatt steigert ihre Stückzahl von 80 auf 100. Bestimme die Änderung.

Die absolute Änderung ist $\mathsf{100-80=20}$ .

Beziehe sie auf den alten Wert: $\mathsf{20:80=0{,}25}$ .

Als Prozentangabe ergibt das $\mathsf{0{,}25\cdot100\,\%=25\,\%}$ .

Erklärung 02

Steigerung und Verringerung

Ein positives Vorzeichen bezeichnet eine Steigerung, ein negatives eine Verringerung. Bei einer Verringerung kannst du entweder die vorzeichenbehaftete Änderung oder den positiven Betrag der Abnahme nennen. Die Formulierung muss dazu passen.

Beachte die Reihenfolge neu minus alt.
Interpretiere das Vorzeichen.
Nenne beim Vergleich die Richtung.

$\mathsf{r>0}$ : Zunahme; $\mathsf{r<0}$ : Abnahme.

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Menge steigt von 120 auf 150.

Die Differenz ist $\mathsf{150-120=30}$ .

Der relative Anteil ist $\mathsf{30:120=0{,}25}$ .

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Menge fällt von 150 auf 120.

Die Differenz ist $\mathsf{120-150=-30}$ .

Der relative Anteil ist $\mathsf{-30:150=-0{,}2}$ .

Erklärung 03

Gegebener Änderungsbetrag und Prozentfaktor

Ist der Änderungsbetrag W bereits bekannt, beziehst du ihn auf A. Eine Erhöhung um p Prozent hat den Faktor $\mathsf{f=1+p/100}$ , eine Verringerung den Faktor $\mathsf{f=1-p/100}$ . Der neue Wert ist $\mathsf{N=A\cdot f}$ . Bei einer Verringerung nichtnegativer Größen verwenden wir $\mathsf{0\le p\le100}$ .

Kläre, ob Betrag oder Prozentsatz gegeben ist.
Bilde den passenden Faktor.
Multipliziere mit dem Ausgangswert.

$\mathsf{N=A\cdot(1+r)}$ .

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Menge von 240 Stück wächst um 36 Stück.

Der relative Zuwachs ist $\mathsf{36:240=0{,}15}$ .

Der neue Wert ist $\mathsf{240+36=276}$ .

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Menge von 250 kg sinkt um 12 %.

Der Faktor ist $\mathsf{1-0{,}12=0{,}88}$ .

Multipliziere $\mathsf{250\cdot0{,}88=220}$ .

Erklärung 04

Rückrechnung und umgekehrte Änderung

Bei bekanntem neuen Wert rechnest du mit $\mathsf{A=N/f}$ zurück, sofern $\mathsf{f\ne0}$ . Eine Rückkehr nach einer Steigerung benutzt den neuen, größeren Bezugswert. Gleiche positive und negative Prozentsätze heben sich deshalb nicht auf. Nach einer Verringerung um 100 % ist der Wert null; der ursprüngliche Wert lässt sich daraus nicht eindeutig zurückgewinnen.

Berechne den Änderungsfaktor.
Prüfe, dass er nicht null ist.
Trenne Rückrechnung vom bloßen Vorzeichenwechsel.

Rückrechnungsfaktor $\mathsf{1/f}$ nur für $\mathsf{f\ne0}$ .

Gleiche Differenz, anderer Bezugswert. 80 → 100: Zunahme 20. 20 : 80 = 0,25 → Zunahme um 25 %. 100 → 80: Abnahme 20. 20 : 100 = 0,20 → Abnahme um 20 %. Der Ausgangswert wechselt mit der Richtung.

So geht es am Beispiel

Nach 20 % Steigerung beträgt eine erfundene Menge 360 Stück. Bestimme den Ausgangswert.

Der Faktor ist $\mathsf{1+0{,}20=1{,}20}$ .

Dividiere $\mathsf{360:1{,}20=300}$ .

So geht es am Beispiel

Ein Wert steigt von 80 auf 100. Wie groß ist die prozentuale Rückkehr von 100 auf 80?

Die Rückkehr hat die Differenz $\mathsf{80-100=-20}$ .

Ihr Bezugswert ist jetzt 100.

Berechne $\mathsf{-20:100=-0{,}20}$ .

Erklärung 05

Mehrere Änderungen und Anschluss

Nacheinander wirkende Faktoren werden multipliziert. Jeder Schritt bezieht sich auf seinen aktuellen Ausgangswert. Die allgemeine Prozentrechnung behandelt Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz; hier verwenden wir diese Begriffe für Änderungen.

Notiere die Faktoren in Reihenfolge.
Multipliziere die Faktoren.
Vergleiche den Gesamtfaktor mit eins.

$\mathsf{f_{\mathsf{gesamt}}=f_1\cdot f_2}$ , $\mathsf{r_{\mathsf{gesamt}}=f_{\mathsf{gesamt}}-1}$ .

Erst plus 10 %, dann minus 10 %. 200 · 1,10 = 220. Erster Bezug: 200. 220 · 0,90 = 198. Zweiter Bezug: 220. 1,10 · 0,90 = 0,99. Endwert: 99 % des ursprünglichen Werts. Insgesamt 1 % weniger; die Änderungen heben sich nicht auf.

So geht es am Beispiel

Eine erfundene Menge von 200 steigt um 10 % und sinkt anschließend um 10 %.

Nach dem Anstieg sind es $\mathsf{200\cdot1{,}10=220}$ .

Nach der Abnahme sind es $\mathsf{220\cdot0{,}90=198}$ .

Der Gesamtfaktor ist $\mathsf{1{,}10\cdot0{,}90=0{,}99}$ .

Die Gesamtänderung ist $\mathsf{0{,}99-1=-0{,}01}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Prozentuale Veränderung berechnen · 1Eine Menge steigt von 50 auf 60. Gib absolute und prozentuale Änderung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Absolute Änderung
Prozentuale Änderung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{60-50=10}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile $\mathsf{10:50=0{,}2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Absolute Änderung+10
2. Prozentuale Änderung+20 %
02
Aufgabe 2Prozentuale Veränderung berechnen · 1Eine Menge sinkt von 90 auf 72. Gib die vorzeichenbehaftete Änderung in Prozent an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Änderung in Prozent
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Differenz ist $\mathsf{72-90=-18}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile $\mathsf{-18:90=-0{,}2}$ .
Ergebnis
1. Änderung in Prozent−20 %
03
Aufgabe 3Prozentuale Veränderung berechnen · 1Eine Menge von 320 wächst um 48. Bestimme den Prozentsatz der Zunahme und den neuen Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zunahme in Prozent
Neuer Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile $\mathsf{48:320=0{,}15}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{320+48=368}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zunahme in Prozent15 %
2. Neuer Wert368
04
Aufgabe 4Prozentuale Veränderung berechnen · 2180 kg werden um 15 % erhöht. Gib Faktor und neue Menge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor
Neue Menge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bilde $\mathsf{1+0{,}15=1{,}15}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{180\cdot1{,}15=207}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor1,15
2. Neue Menge207 kg
05
Aufgabe 5Prozentuale Veränderung berechnen · 2Eine Menge beträgt nach 20 % Verringerung 96. Bestimme den Ausgangswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgangswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist $\mathsf{1-0{,}20=0{,}80}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile $\mathsf{96:0{,}80=120}$ .
Ergebnis
1. Ausgangswert120
06
Aufgabe 6Prozentuale Veränderung berechnen · 2Ein Wert steigt von 40 auf 50 und kehrt zurück auf 40. Bestimme beide prozentualen Änderungen getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hinweg
Rückweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Hinweg: $\mathsf{50-40=10}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile $\mathsf{10:40=0{,}25}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rückweg: $\mathsf{40-50=-10}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Teile $\mathsf{-10:50=-0{,}20}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hinweg+25 %
2. Rückweg−20 %
07
Aufgabe 7Prozentuale Veränderung berechnen · 3300 werden erst um 20 % erhöht, dann um 25 % verringert. Bestimme Endwert und Gesamtänderung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endwert
Gesamtänderung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Wert: $\mathsf{300\cdot1{,}20=360}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Endwert: $\mathsf{360\cdot0{,}75=270}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Gesamtdifferenz: $\mathsf{270-300=-30}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Relativ: $\mathsf{-30:300=-0{,}10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Endwert270
2. Gesamtänderung−10 %
08
Aufgabe 8Prozentuale Veränderung berechnen · 3Eine positive Menge wird um 100 % verringert und ist danach null. Kannst du ihren ursprünglichen Wert eindeutig bestimmen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eindeutig bestimmbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist $\mathsf{1-1=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jeder positive Ausgangswert ergibt beim Multiplizieren mit null denselben Endwert null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eindeutig bestimmbar?Nein
2. BegründungAlle positiven Ausgangswerte führen zu null. Rückrechnung durch den Faktor null ist nicht definiert.
09
Aufgabe 9Prozentuale Veränderung berechnen · 3Eine Menge steigt von null auf 12. Gib die absolute Änderung an. Ist die übliche relative Änderung definiert? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Absolute Änderung
Relative Änderung definiert?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die absolute Änderung ist $\mathsf{12-0=12}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die relative Formel würde durch den Ausgangswert null teilen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Absolute Änderung+12
2. Relative Änderung definiert?Nein
3. BegründungDie Formel verlangt einen Ausgangswert ungleich null.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne den Ausgangswert.
Ich unterscheide Betrag, Prozentsatz und Faktor.
Ich prüfe Rückrechnung auf Faktor null.
Ich multipliziere aufeinanderfolgende Faktoren.

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