Symmetrie · Erklären & üben

Punktspiegelung

Bei einer Punktspiegelung an $\mathsf{Z}$ wird jeder Punkt auf die gegenüberliegende Seite des Zentrums mit gleichem Abstand übertragen. Dies ist eine halbe Drehung. Die Ausgangsfigur muss selbst nicht punktsymmetrisch sein.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mit dem Lineal spiegeln

Zeichne die Gerade durch $\mathsf{P}$ und $\mathsf{Z}$ . Miss die Strecke $\mathsf{PZ}$ und trage sie von $\mathsf{Z}$ aus auf der anderen Seite ab. Der so gefundene Punkt ist $\mathsf{P\prime}$ . Das Zentrum ist der Mittelpunkt von $\mathsf{PP\prime}$ . Für eine ganze Figur wiederholst du dies für alle Ecken und verbindest die Bildpunkte in derselben Reihenfolge.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{ZP=ZP\prime}$

So geht es am Beispiel

Spiegle $\mathsf{P(1|1)}$ an $\mathsf{Z(3|2)}$ .

Vom Punkt P zum Zentrum gehst du zwei Einheiten nach rechts und eine nach oben.

Gehe vom Zentrum nochmals denselben Weg.

Erklärung 02

Den Abstand mit dem Zirkel übertragen

Zeichne zunächst die Gerade durch Punkt und Zentrum. Stelle den Zirkel auf den Abstand $\mathsf{ZP}$ , steche in $\mathsf{Z}$ ein und zeichne einen Kreis oder passende Kreisbögen. Der zweite Schnittpunkt mit der Geraden ist $\mathsf{P\prime}$ . Der Radius wird dabei nicht verändert.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{PP\prime=2\cdot ZP}$

So geht es am Beispiel

Ein Punkt liegt $\mathsf{2{,}5\,\mathsf{cm}}$ von $\mathsf{Z}$ entfernt. Bestimme den Abstand seines Bildes zu $\mathsf{Z}$ sowie die Länge $\mathsf{PP\prime}$ .

\mathsf{ZP\prime=2{,}5\,\mathsf{cm}}

\mathsf{PP\prime=2\cdot2{,}5\,\mathsf{cm}=5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Mit Koordinaten rechnen

Ziehe jede Koordinate des Ausgangspunktes von der doppelten entsprechenden Zentrumskoordinate ab. Das gilt auch für negative Koordinaten. Am Ursprung wechseln beide Vorzeichen. Das Zentrum selbst bleibt fest. Zweimaliges Spiegeln an demselben Zentrum führt jeden Punkt wieder an seinen Ausgangsort zurück.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{x\prime=2x_Z-x,\qquad y\prime=2y_Z-y}$

So geht es am Beispiel

Spiegle $\mathsf{P(5|-1)}$ an $\mathsf{Z(2|1)}$ .

\mathsf{x\prime=2\cdot2-5=-1}

\mathsf{y\prime=2\cdot1-(-1)=3}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Punktspiegelung · basisSpiegle $\mathsf{P(3|-2)}$ am Ursprung $\mathsf{Z(0|0)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P\prime=(-3|2)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Vorzeichen wechseln.
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{P\prime(-3|2)}$
02
Aufgabe 2Punktspiegelung · standardSpiegle $\mathsf{P(5|4)}$ an $\mathsf{Z(2|3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\prime=2\cdot2-5=-1}$
  $\mathsf{y\prime=2\cdot3-4=2}$
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{P\prime(-1|2)}$
03
Aufgabe 3Punktspiegelung · standardEs gilt $\mathsf{ZP=3{,}2\,\mathsf{cm}}$ . Wie lang ist die Strecke vom Punkt zu seinem Spiegelpunkt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Länge PP′
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{PP\prime=2\cdot3{,}2\,\mathsf{cm}=6{,}4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Länge PP′ $\mathsf{6{,}4\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Punktspiegelung · standardSpiegle das Dreieck $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(3|1)}$ , $\mathsf{C(2|4)}$ an $\mathsf{Z(4|3)}$ . Zeichne die Geraden durch jede Ecke und $\mathsf{Z}$ , markiere die Bildpunkte und verbinde sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punktspiegelung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Punktspiegelung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{A\prime=(8-1|6-1)=(7|5)}$
  $\mathsf{B\prime=(8-3|6-1)=(5|5)}$
  $\mathsf{C\prime=(8-2|6-4)=(6|2)}$
Ergebnis
1. PunktspiegelungBilddreieck $\mathsf{A\prime(7|5),B\prime(5|5),C\prime(6|2)}$ mit Hilfsverbindungen durch $\mathsf{Z}$ .
05
Aufgabe 5Punktspiegelung · standardEin Punkt P fällt mit dem Spiegelzentrum Z zusammen. Wo liegt P′? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Abstand zum Zentrum ist null.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Koordinatenformel ergibt 2Z−Z=Z.
Ergebnis
1. BildpunktP′ liegt ebenfalls in Z; das Zentrum ist ein Fixpunkt.
06
Aufgabe 6Punktspiegelung · transferEin Punkt wird zweimal nacheinander am selben Zentrum $\mathsf{Z}$ gespiegelt. Begründe rechnerisch, warum wieder $\mathsf{P}$ entsteht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P\prime=2Z-P}$
  $\mathsf{P\prime\prime=2Z-P\prime=2Z-(2Z-P)=P}$
Ergebnis
1. ErgebnisZweimaliges Spiegeln am selben Zentrum ergibt den Ausgangspunkt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide eine Abbildung von einer Symmetrie der Figur.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

AT Academy · Version 2026-10-21