Symmetrie · Erklären & üben

Punktsymmetrie

Eine Figur ist punktsymmetrisch zu $\mathsf{Z}$ , wenn eine Drehung um $\mathsf{180^\circ}$ um $\mathsf{Z}$ sie auf sich selbst abbildet. Zu jedem Punkt gehört der gegenüberliegende Punkt mit demselben Abstand zu $\mathsf{Z}$ .

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein gemeinsamer Mittelpunkt

Das Symmetriezentrum $\mathsf{Z}$ ist der Mittelpunkt jeder Strecke zwischen einem Punkt $\mathsf{P}$ und seinem zugehörigen Bildpunkt $\mathsf{P\prime}$ . Beide liegen auf einer Geraden durch $\mathsf{Z}$ , aber auf entgegengesetzten Seiten. Ein gemeinsames Zentrum muss für die gesamte Figur funktionieren; ein einzelnes passendes Punktepaar genügt nicht.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{Z=\frac{P+P\prime}{2}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{P(1|2)}$ und $\mathsf{P\prime(7|6)}$ gehören zusammen. Berechne das mögliche Zentrum.

\mathsf{x_Z=(1+7)/2=4}

\mathsf{y_Z=(2+6)/2=4}

Erklärung 02

Welche Figuren passen nach einer halben Drehung?

Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt. Dazu zählen Rechteck, Raute und Quadrat. Ein Kreis ist zu seinem Mittelpunkt punktsymmetrisch. Ein nicht entartetes Dreieck ist es nicht: Bei einer halben Drehung müssten seine drei Ecken paarweise vertauscht werden; eine übrig bleibende Ecke müsste das Zentrum sein, wodurch das Dreieck entarten würde.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{\textsf{Drehwinkel}=180^\circ}$

So geht es am Beispiel

Warum ist ein Parallelogramm punktsymmetrisch?

Seine Diagonalen halbieren sich gegenseitig.

Ihr Schnittpunkt ist daher für beide Paare gegenüberliegender Ecken derselbe Mittelpunkt.

Die halbe Drehung vertauscht auch die gegenüberliegenden Seiten.

Erklärung 03

Optional: Ursprung oder verschobenes Zentrum

Für eine zur Null symmetrische Definitionsmenge ist der Graph genau dann ursprungssymmetrisch, wenn $\mathsf{f(-x)=-f(x)}$ für alle zulässigen $\mathsf{x}$ gilt. Bei einem anderen Zentrum $\mathsf{Z(a|b)}$ prüfst du $\mathsf{f(a+t)+f(a-t)=2b}$ mit symmetrisch passenden Definitionswerten. Eine negative Ursprungsprüfung schließt daher ein verschobenes Symmetriezentrum nicht aus.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{f(-x)=-f(x)}$

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=x^3-2x}$ und $\mathsf{g(x)=x^3+1}$ .

\mathsf{f(-x)=-x^3+2x=-f(x)}

\mathsf{g(t)+g(-t)=(t^3+1)+(-t^3+1)=2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Punktsymmetrie · basisDie Punkte $\mathsf{P(2|1)}$ und $\mathsf{P\prime(6|5)}$ sollen einander entsprechen. Bestimme das Zentrum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zentrum
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{Z\left((2+6)/2\middle|(1+5)/2\right)=(4|3)}$
Ergebnis
1. Zentrum $\mathsf{Z(4|3)}$
02
Aufgabe 2Punktsymmetrie · standardWo liegt das Symmetriezentrum eines Rechtecks?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zentrum
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
Ergebnis
1. ZentrumAm Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
03
Aufgabe 3Punktsymmetrie · standardIst ein gleichseitiges Dreieck punktsymmetrisch? Begründe mit dem Drehwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Es wird bei 120 und 240 Grad auf sich abgebildet.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die für Punktsymmetrie nötige Drehung um 180 Grad liefert eine andere Figur.
Ergebnis
1. EntscheidungNein, trotz seiner Drehsymmetrie ist es nicht punktsymmetrisch.
04
Aufgabe 4Punktsymmetrie · standardErgänze zum Dreieck $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(3|1)}$ , $\mathsf{C(2|4)}$ sein Gegenstück bezüglich $\mathsf{Z(4|3)}$ , sodass die gesamte Zeichnung punktsymmetrisch wird. Verbinde zugehörige Ecken durch Hilfslinien.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergänzung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Ergänzung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{P\prime=2Z-P}$
  $\mathsf{A\prime(7|5),\quad B\prime(5|5),\quad C\prime(6|2)}$
Ergebnis
1. ErgänzungBilddreieck $\mathsf{A\prime(7|5),B\prime(5|5),C\prime(6|2)}$ ; die Gesamtfigur aus beiden Dreiecken ist punktsymmetrisch.
05
Aufgabe 5Punktsymmetrie · transferOptional: Prüfe $\mathsf{f(x)=x^5+x}$ auf Ursprungssymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=(-x)^5-x=-x^5-x=-f(x)}$
Ergebnis
1. ErgebnisJa, der Graph ist zum Ursprung symmetrisch.
06
Aufgabe 6Punktsymmetrie · transferOptional: Prüfe $\mathsf{g(x)=x^3+2}$ auf Ursprungssymmetrie und gib gegebenenfalls ein anderes Symmetriezentrum an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ursprung
Anderes Zentrum
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-x)=-x^3+2\ne-g(x)\quad\textsf{im Allgemeinen}}$
  $\mathsf{g(t)+g(-t)=4=2\cdot2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrsprungKeine Ursprungssymmetrie.
2. Anderes Zentrum $\mathsf{Z(0|2)}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide eine Abbildung von einer Symmetrie der Figur.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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