Pyramiden · Erklären & üben

Pyramide

Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen mit gemeinsamer Spitze. Ihre senkrechte Körperhöhe ist nicht mit einer Seitenkante oder einer Dreieckshöhe im Mantel zu verwechseln.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundfläche und gemeinsame Spitze

Bei einer n-eckigen Pyramide entstehen n dreieckige Seitenflächen. Zusammen mit der Grundfläche sind es n + 1 Flächen, n + 1 Ecken und 2n Kanten. Die Körperhöhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundflächenebene.

Zähle die Seiten des Grundpolygons.

Die Seitenkante von der Spitze zu einer Grundecke ist im Allgemeinen nicht die Körperhöhe.

Quadratische Pyramide mit Spitze S, Grundflächenmittelpunkt O, Seitenmitte E, Körperhöhe SO und Seitenflächenhöhe SE.

Erklärung 02

Besondere Pyramiden

Eine quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfläche. Bei einer regelmäßigen Pyramide ist die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck und die Spitze liegt senkrecht über dessen Mittelpunkt. Dann sind die Seitendreiecke kongruent. Eine dreiseitige Pyramide heißt Tetraeder; nur beim regelmäßigen Tetraeder sind alle sechs Kanten gleich lang.

Grundflächenform und Lage der Spitze getrennt beschreiben.

Quadratische Grundfläche allein bedeutet noch nicht, dass die Spitze über der Mitte liegt.

Erklärung 03

Das Volumen

Für jede Pyramide gilt ein Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Körperhöhe. Die Formel gilt auch, wenn die Spitze nicht über dem Grundflächenmittelpunkt liegt.

Grundfläche zuerst passend zur Form berechnen.

$\mathsf{V=\frac13Gh}$

Erklärung 04

Grundfläche plus Mantel

Die Oberfläche ist G + M. Der Mantel besteht aus den seitlichen Dreiecksflächen. Bei einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit Grundkante a und Seitenflächenhöhe hₛ gilt M = 2ahₛ. Für den Mantel brauchst du die Höhe im Dreieck, nicht die Körperhöhe h.

Bei ungleichen Seitendreiecken deren Flächen einzeln addieren.

$\mathsf{O=G+M;\quad M=2ah_s}$ für die regelmäßige quadratische Pyramide.

Erklärung 05

Mit zwei unterschiedlichen Höhen rechnen

Bei der regelmäßigen quadratischen Pyramide bilden h, a/2 und hₛ ein rechtwinkliges Dreieck. Mit Pythagoras bestimmst du daraus die Seitenflächenhöhe.

V nutzt h, M nutzt hₛ.

$\mathsf{h_s=\sqrt{h^2+(a/2)^2}}$

Maßhaltiger rechtwinkliger Schnitt mit halber Grundkante 3cm, Körperhöhe 4cm und Seitenhöhe 5cm.

So geht es am Beispiel

Regelmäßige quadratische Pyramide: a = 6 cm, h = 4 cm. Berechne V und O.

\mathsf{G=6^2=36\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{h_s=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathsf{cm}}

\mathsf{V=\frac13\cdot36\cdot4=48\,\mathsf{cm}^3}

\mathsf{M=2\cdot6\cdot5=60\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{O=36+60=96\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 06

Pyramide und Kegel

Der Kegel besitzt eine Kreisgrundfläche und einen gekrümmten Mantel statt einzelner Dreiecke. Seine Volumenformel hat ebenfalls den Faktor ein Drittel.

Weiterlernen: Oberflächen- und Mantelfläche Pyramide sowie Volumen Pyramide.

Die Mantelformel einer Pyramide wird nicht unverändert auf den Kegel übertragen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Pyramide · AnwendenEine Pyramide hat eine fünfeckige Grundfläche. Wie viele Flächen und Ecken besitzt sie?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächen
Ecken
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Fünf Seitendreiecke und eine Grundfläche ergeben sechs Flächen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Fünf Grundecken und die Spitze ergeben sechs Ecken.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Flächen6
2. Ecken6
02
Aufgabe 2Pyramide · AnwendenEine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche; ihre Spitze liegt nicht senkrecht über deren Mittelpunkt. Ist sie regelmäßig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für Regelmäßigkeit muss die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des regelmäßigen Grundpolygons liegen.
Ergebnis
1. EntscheidungNein. Die quadratische Grundfläche allein genügt nicht.
03
Aufgabe 3Pyramide · AnwendenWelche Höhe verwendest du für das Volumen: die senkrechte Körperhöhe oder die Höhe eines seitlichen Dreiecks?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Volumen nutzt den Abstand zur Grundflächenebene.
Ergebnis
1. HöheDie senkrechte Körperhöhe
04
Aufgabe 4Pyramide · AnwendenEine Pyramide hat G = 30 cm² und h = 6 cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\frac13\cdot30\cdot6=60\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen60 cm³
05
Aufgabe 5Pyramide · AnwendenEine regelmäßige quadratische Pyramide hat a = 8 cm und Seitenflächenhöhe 5cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Oberfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G=64\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{M=2\cdot8\cdot5=80\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{O=144\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Oberfläche144 cm²
06
Aufgabe 6Pyramide · AnwendenErgänze unter der quadratischen Grundfläche das fehlende Seitendreieck. Übernimm Form und Höhe des oberen Dreiecks gespiegelt an die untere Quadratseite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständiges Netz
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vollständiges Netz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die vier Seitendreiecke sind kongruent.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Spitze des fehlenden Dreiecks liegt unter der Mitte der unteren Quadratseite.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Übertrage die Seitenhöhe aus dem oberen Dreieck.
Ergebnis
1. Vollständiges NetzUnter dem Quadrat liegt ein kongruentes gleichschenkliges Seitendreieck.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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