Quader und Würfel · Erklären & üben

Quader

Ein Quader ist ein Körper mit sechs rechteckigen Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß und parallel. Drei an einer Ecke zusammentreffende Kanten stehen paarweise senkrecht aufeinander.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Flächen, Kanten und Ecken

Ein Quader hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken. Eine Kante ist die gemeinsame Strecke zweier Flächen; an jeder Ecke treffen drei Kanten zusammen. Ein Würfel ist ein besonderer Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{6\textsf{ Flächen},\quad12\textsf{ Kanten},\quad8\textsf{ Ecken}}$

So geht es am Beispiel

Wie lassen sich die zwölf Kanten nach Richtungen ordnen?

Es gibt drei zueinander senkrechte Kantenrichtungen.

In jeder Richtung liegen vier gleich lange, parallele Kanten.

Erklärung 02

Drei Maße bestimmen den Quader

Die drei Kantenlängen heißen hier $\mathsf{a,b,c}$ . Es gibt je zwei Rechtecke der Größen $\mathsf{a\times b}$ , $\mathsf{a\times c}$ und $\mathsf{b\times c}$ . Im Schrägbild erscheinen rechte Winkel teilweise schief; die räumlichen Eigenschaften ändern sich dadurch nicht. Verdeckte Kanten können gestrichelt dargestellt werden.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{\textsf{Gesamtkantenlänge}=4(a+b+c)}$

So geht es am Beispiel

Ein Quader hat Kanten $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$ . Welche Flächen bilden ein Paar?

Oben und unten: 4 mal3.

Vorn und hinten: 4 mal2.

Links und rechts: 3 mal2.

Erklärung 03

Randflächen und Rauminhalt

Die Oberfläche ist die Summe der sechs Flächen. Das Volumen misst den eingeschlossenen Raum. Verwende Quadrateinheiten für die Oberfläche und Kubikeinheiten für das Volumen. Alle Kanten müssen zuvor in derselben Längeneinheit stehen.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{O=2(ab+ac+bc),\qquad V=abc}$

So geht es am Beispiel

Berechne Oberfläche und Volumen für $\mathsf{a=4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{b=3\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=2\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{O=2(12+8+6)=52\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{V=4\cdot3\cdot2=24\,\mathsf{cm}^3}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quader · standardNenne die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken eines Quaders.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächen
Kanten
Ecken
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zähle die sechs Rechtecke, die zwölf Verbindungsstrecken und die acht Eckpunkte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Flächen $\mathsf{6}$
2. Kanten $\mathsf{12}$
3. Ecken $\mathsf{8}$
02
Aufgabe 2Quader · standardIst jeder Würfel ein Quader? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Quadrate sind besondere Rechtecke.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die sechs Flächen eines Würfels erfüllen die Quaderbedingungen.
Ergebnis
1. BegründungJa. Ein Würfel ist ein Quader mit drei gleichen Kantenlängen.
03
Aufgabe 3Quader · standardEin Quader besitzt eine Grundfläche von $\mathsf{4\,\mathsf{cm}\times3\,\mathsf{cm}}$ . Welche Maße hat die gegenüberliegende Fläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Maße
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gegenüberliegende Quaderflächen sind kongruent.
Ergebnis
1. Maße $\mathsf{4\,\mathsf{cm}\times3\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Quader · standardBeschrifte im Schrägbild die vordere untere waagerechte Kante mit a, die von ihrem linken Ende nach hinten laufende Kante mit b und die linke vordere Höhenkante mit c. Markiere je eine weitere parallele Kante derselben Länge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beschriftung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Beschriftung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jede Kantenrichtung enthält vier gleich lange Kanten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Übertrage die drei Buchstaben jeweils auf eine parallele Kante.
Ergebnis
1. Beschriftunga an waagerechten Vorder-/Hinterkanten; b an Tiefenkanten; c an senkrechten Höhenkanten.
05
Aufgabe 5Quader · standardBerechne das Volumen für $\mathsf{a=5\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{b=2\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=3\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=5\cdot2\cdot3=30\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{30\,\mathsf{cm}^3}$
06
Aufgabe 6Quader · standardBerechne die Gesamtlänge aller Kanten desselben Quaders mit $\mathsf{5}$ , $\mathsf{2}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamtkantenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{L=4(5+2+3)\,\mathsf{cm}=40\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Gesamtkantenlänge $\mathsf{40\,\mathsf{cm}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Kantenlänge, Oberfläche und Volumen.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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