Quader und Würfel · Erklären & üben

Quadernetze

Ein Quadernetz entsteht, wenn du die sechs Flächen eines Quaders zusammenhängend in eine Ebene aufklappst. Beim Zurückfalten müssen sie den Quader ohne Lücken oder Überlappungen schließen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Faltkanten und Schnittkanten

Benachbarte Rechtecke im Netz teilen eine Faltkante. Die äußeren Linien werden ausgeschnitten. Ein gültiges Netz braucht passende Seitenlängen an den gemeinsamen Kanten. Sechs beliebige Rechtecke ergeben deshalb noch kein Quadernetz.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{2\cdot(a b)+2\cdot(a c)+2\cdot(b c)}$

So geht es am Beispiel

Welche Rechtecke braucht ein Quader mit $\mathsf{a=4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{b=2\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{c=3\,\mathsf{cm}}$ ?

Zwei Rechtecke 4×2 bilden Boden und Deckel.

Zwei Rechtecke 4×3 und zwei Rechtecke 2×3 bilden die Seiten.

Erklärung 02

Ein Seitenstreifen mit Boden und Deckel

Ein möglicher Seitenstreifen enthält vier Rechtecke der Breiten $\mathsf{a,b,a,b}$ mit gemeinsamer Höhe $\mathsf{c}$ . An die obere und untere Kante desselben $\mathsf{a\times c}$ -Rechtecks kann je ein $\mathsf{a\times b}$ -Rechteck angefügt werden. Beim Falten schließen diese beiden Rechtecke unterschiedliche Öffnungen.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{\textsf{Streifenbreite}=2a+2b}$

So geht es am Beispiel

Wie breit ist der Seitenstreifen für $\mathsf{a=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=2\,\mathsf{cm}}$ ?

\mathsf{2a+2b=8+4=12\,\mathsf{cm}}

Die Höhe des Streifens beträgt c=3cm.

Erklärung 03

Anordnung beim Falten prüfen

Nicht jede zusammenhängende Anordnung ist faltbar. Flächen können auf derselben Körperseite überlappen. Prüfe schrittweise, welche Fläche zu welcher Seite wird. Auch zwei passende Deckel an der gleichen Öffnung sind falsch, obwohl Flächenanzahl und Größen zunächst stimmen.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{\textsf{richtige Flächenzahl}\ \not\Rightarrow\ \textsf{gültiges Netz}}$

Sechs Quadrate sind noch kein Würfelnetz

So geht es am Beispiel

Ist ein Rechteck aus zwei Reihen zu je drei Einheitsquadraten ein Würfelnetz?

Die sechs Quadrate besitzen zwar die richtige Gesamtfläche.

Beim Falten verhindern die geschlossenen Viererblöcke ein überlappungsfreies Schließen zu sechs verschiedenen Würfelseiten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quadernetze · standardWelche drei Rechteckgrößen kommen im Netz eines Quaders mit $\mathsf{4}$ , $\mathsf{2}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ vor, und wie oft?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Größen und Anzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Jedes Kantenpaar bildet eine Flächengröße; die Gegenfläche ist gleich groß.
Ergebnis
1. Größen und AnzahlJe zweimal $\mathsf{4\times2}$ , $\mathsf{4\times3}$ und $\mathsf{2\times3\,\mathsf{cm}}$ als Seitenmaße.
02
Aufgabe 2Quadernetze · standardBerechne die Fläche dieses vollständigen Netzes.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Netzfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{O=2(4\cdot2+4\cdot3+2\cdot3)=52\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Netzfläche $\mathsf{52\,\mathsf{cm}^2}$
03
Aufgabe 3Quadernetze · standardWas unterscheidet eine Faltkante von einer äußeren Schnittkante des Netzes?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faltkante
Schnittkante
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  An der Faltkante bleiben zwei benachbarte Flächen verbunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Entlang des Außenrandes wird das Netz aus dem Papier ausgeschnitten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. FaltkanteVerbindet zwei Flächen; wird geknickt.
2. SchnittkanteLiegt am Außenrand; wird ausgeschnitten.
04
Aufgabe 4Quadernetze · standardErgänze den vorgegebenen Seitenstreifen: Zeichne am ersten 4×3-Rechteck oben und unten je ein 4×2-Rechteck an. Ein Rasterkästchen entspricht 1cm. Beschrifte die neuen Flächen mit Deckel und Boden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständiges Netz
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vollständiges Netz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die gemeinsame Kante hat jeweils Länge4cm.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beide zusätzlichen Rechtecke reichen jeweils2cm vom Streifen weg.
Ergebnis
1. Vollständiges NetzJe ein 4×2-Rechteck oberhalb und unterhalb des ersten 4×3-Rechtecks, mit Deckel/Boden beschriftet.
05
Aufgabe 5Quadernetze · standardWarum ist „Es sind sechs Quadrate“ allein keine ausreichende Begründung für ein Würfelnetz?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Auch die Anordnung muss sechs verschiedene Seiten ergeben.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der 2×3-Quadratblock hat sechs Quadrate, ist aber kein Würfelnetz.
Ergebnis
1. BegründungAnzahl und Größe reichen nicht; beim Falten dürfen sich die Flächen nicht überlappen.
06
Aufgabe 6Quadernetze · standardZwei gleich große Rechtecke eines Netzes würden beim Falten beide dieselbe obere Öffnung schließen. Was ist daran falsch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die beiden Flächen würden aufeinanderliegen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die untere Öffnung könnte dabei unbedeckt bleiben.
Ergebnis
1. FehlerÜberlappung statt eines geschlossenen Quaders mit sechs unterschiedlichen Seiten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Kantenlänge, Oberfläche und Volumen.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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