Quader und Würfel · Erklären & üben

Quader Volumen

Beim Quader-Volumen in Alltagssituationen zählt, welcher Raum tatsächlich gemeint ist. Für Behälter brauchst du Innenmaße; für eine Flüssigkeitsmenge außerdem die tatsächliche Füllhöhe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Innenmaße statt Außenmaße

Die Innenmaße bestimmen das nutzbare Volumen eines leeren quaderförmigen Behälters. Außenmaße schließen Wände und Boden ein und liefern daher nicht unmittelbar das Fassungsvermögen. Alle drei Maße müssen zur selben betrachteten Raumregion gehören.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{V_{\mathsf{innen}}=L_{\mathsf{i}}B_{\mathsf{i}}H_{\mathsf{i}}}$

So geht es am Beispiel

Ein Behälter hat Innenmaße $\mathsf{40\,\mathsf{cm}\times25\,\mathsf{cm}\times30\,\mathsf{cm}}$ . Berechne sein Fassungsvermögen.

\mathsf{V=40\cdot25\cdot30=30000\,\mathsf{cm}^3}

\mathsf{30000\,\mathsf{cm}^3=30\,\mathsf{l}}

Erklärung 02

Kubikzentimeter, Kubikmeter und Liter

Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter und damit tausend Kubikzentimetern. Ein Kubikmeter enthält tausend Liter. Beim Wechsel einer Längeneinheit wird der Umrechnungsfaktor für ein Volumen dreimal berücksichtigt; Meter zu Zentimeter bedeutet deshalb einen Faktor von einer Million.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{1\,\mathsf{l}=1000\,\mathsf{cm}^3,\qquad1\,\mathsf{m}^3=1000\,\mathsf{l}}$

So geht es am Beispiel

Berechne das Volumen bei Innenmaßen $\mathsf{80\,\mathsf{cm}\times50\,\mathsf{cm}\times40\,\mathsf{cm}}$ in Litern.

\mathsf{V=160000\,\mathsf{cm}^3}

\mathsf{V=160\,\mathsf{l}}

Erklärung 03

Füllhöhe und freie Restmenge

Bei senkrechten Wänden ist das Volumen proportional zur Füllhöhe. Halbe Höhe bedeutet halbes Volumen. Für eine unbekannte Höhe teilst du die Flüssigkeitsmenge durch die innere Grundfläche. Verwende dabei kompatible Einheiten. Das Modell setzt einen ebenen Boden und keine Einbauten voraus.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{h_{\mathsf{F}}=\frac{V_{\mathsf{F}}}{LB}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{12\,\mathsf{l}}$ Wasser stehen in einem Behälter mit innerer Grundfläche $\mathsf{40\,\mathsf{cm}\times30\,\mathsf{cm}}$ . Wie hoch steht das Wasser?

\mathsf{12\,\mathsf{l}=12000\,\mathsf{cm}^3}

\mathsf{h_{\mathsf{F}}=12000/(40\cdot30)=10\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quader Volumen · standardEin leerer Behälter hat Innenmaße $\mathsf{50\,\mathsf{cm}\times30\,\mathsf{cm}\times20\,\mathsf{cm}}$ . Berechne das Fassungsvermögen in Litern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fassungsvermögen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=50\cdot30\cdot20=30000\,\mathsf{cm}^3=30\,\mathsf{l}}$
Ergebnis
1. Fassungsvermögen $\mathsf{30\,\mathsf{l}}$
02
Aufgabe 2Quader Volumen · standardInnenmaße: $\mathsf{1{,}2\,\mathsf{m}\times0{,}5\,\mathsf{m}\times0{,}4\,\mathsf{m}}$ . Bestimme das Volumen in Litern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=1{,}2\cdot0{,}5\cdot0{,}4=0{,}24\,\mathsf{m}^3}$
  $\mathsf{0{,}24\,\mathsf{m}^3=240\,\mathsf{l}}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{240\,\mathsf{l}}$
03
Aufgabe 3Quader Volumen · standardEin Behälter hat Innenmaße $\mathsf{40\,\mathsf{cm}\times30\,\mathsf{cm}\times50\,\mathsf{cm}}$ . Er ist bis zur halben Höhe gefüllt. Wie viel Flüssigkeit enthält er?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flüssigkeitsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h_{\mathsf{F}}=25\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{V_{\mathsf{F}}=40\cdot30\cdot25=30000\,\mathsf{cm}^3=30\,\mathsf{l}}$
Ergebnis
1. Flüssigkeitsmenge $\mathsf{30\,\mathsf{l}}$
04
Aufgabe 4Quader Volumen · standardMarkiere im Schrägbild die halbe Höhe an allen vier senkrechten Kanten. Verbinde die vier Punkte zur waagerechten Füllfläche. Beschrifte die Füllhöhe mit H/2. Die untere Fläche ist der Behälterboden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Füllzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Füllzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die vier Kantenmittelpunkte liegen auf gleicher Höhe über dem Boden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ihre Verbindungen sind parallel zu den entsprechenden Grundkanten.
Ergebnis
1. FüllzeichnungFüllfläche durch alle vier Höhenmittelpunkte; Beschriftung H/2.
05
Aufgabe 5Quader Volumen · standard $\mathsf{18\,\mathsf{l}}$ Wasser stehen in einem Behälter mit innerer Grundfläche $\mathsf{60\,\mathsf{cm}\times30\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Füllhöhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Füllhöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{18\,\mathsf{l}=18000\,\mathsf{cm}^3}$
  $\mathsf{h=18000/(60\cdot30)=10\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Füllhöhe $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$
06
Aufgabe 6Quader Volumen · standardEin dicker Holzkasten hat Außenmaße30×20×10cm. Jemand nennt 6Liter als exaktes Fassungsvermögen. Ist diese Schlussfolgerung gesichert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Produkt der Außenmaße ist6000cm³.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Wände und Boden verkleinern den Innenraum; ihre Stärken beziehungsweise die Innenmaße fehlen.
Ergebnis
1. BeurteilungNein. 6Liter ist das äußere Quader-Volumen, nicht das gesicherte Fassungsvermögen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Kantenlänge, Oberfläche und Volumen.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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