Quader und Würfel · Erklären & üben

Volumen Quader und Würfel

Das Volumen beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Beim Quader kannst du es als Anzahl gleich großer Einheitswürfel verstehen, die ihn lückenlos ausfüllen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundfläche mal Höhe

Eine Schicht enthält so viele Einheitswürfel, wie auf die Grundfläche passen. Die Anzahl der Schichten wird durch die Höhe bestimmt. Deshalb multiplizierst du drei senkrechte Kantenlängen. Grundfläche und Höhe müssen zusammengehören; bei einem Quader steht die Höhe senkrecht zur Grundfläche.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{V=abc=G\cdot h}$

So geht es am Beispiel

Ein Quader ist $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ lang, $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ breit und $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$ hoch. Berechne sein Volumen.

\mathsf{G=4\cdot3=12\,\mathsf{cm}^2}

Zwei Schichten von je1cm Höhe ergeben:

\mathsf{V=12\cdot2=24\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 02

Drei gleiche Kantenlängen

Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Das Volumen ist daher die dritte Potenz der Kantenlänge. Umgekehrt erhältst du die Kantenlänge durch die positive Kubikwurzel, nicht durch eine Quadratwurzel. Verdoppelte Kanten ergeben achtfaches Volumen.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{V=a^3,\qquad a=\sqrt[3]{V}}$

So geht es am Beispiel

Ein Würfel hat Kantenlänge $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme sein Volumen.

\mathsf{V=3^3=27\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 03

Eine Kante oder die Grundfläche berechnen

Fehlt eine Kante, teilst du das Volumen durch das Produkt der beiden anderen Kanten. Ist die Höhe bekannt, erhältst du durch Division die Grundfläche. Die Einheiten zeigen den Unterschied: Kubikeinheit geteilt durch Längeneinheit ergibt eine Quadrateinheit.

Ordne die Maße der richtigen Kantenrichtung oder Fläche zu.
Vereinheitliche die Einheiten und begründe die Rechnung.

$\mathsf{h=\frac VG,\qquad G=\frac Vh}$

So geht es am Beispiel

Ein Quader hat $\mathsf{V=60\,\mathsf{cm}^3}$ und $\mathsf{h=5\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Grundfläche. Welche Höhe ergibt sich bei $\mathsf{a=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=3\,\mathsf{cm}}$ ?

\mathsf{G=60/5=12\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{h=60/(4\cdot3)=5\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Volumen Quader und Würfel · standardBerechne das Volumen eines Quaders mit $\mathsf{5}$ , $\mathsf{4}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=5\cdot4\cdot3=60\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{60\,\mathsf{cm}^3}$
02
Aufgabe 2Volumen Quader und Würfel · standardBerechne das Volumen eines Würfels mit $\mathsf{a=4\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=4^3=64\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{64\,\mathsf{cm}^3}$
03
Aufgabe 3Volumen Quader und Würfel · standardEin Würfel hat Volumen $\mathsf{125\,\mathsf{cm}^3}$ . Bestimme seine Kantenlänge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kantenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=\sqrt[3]{125}\,\mathsf{cm}=5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Kantenlänge $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Volumen Quader und Würfel · standardMarkiere im Schrägbild die untere Grundfläche mit $\mathsf{G}$ und eine zugehörige senkrechte Höhenkante mit $\mathsf{h}$ . Beschrifte die vordere Grundkante mit $\mathsf{a=4}$ , die nach hinten gerichtete Grundkante mit $\mathsf{b=3}$ und die Höhe mit $\mathsf{h=2}$ ; alle Maße gelten in Zentimetern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundfläche und Höhe
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Grundfläche und Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Grundfläche ist das untere Rechteck.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Höhenkanten verbinden die Grundfläche mit der gegenüberliegenden Deckfläche.
Ergebnis
1. Grundfläche und HöheUnteres Rechteck G; waagerechte Vorderkante a=4; Tiefenkante b=3; senkrechte Höhe h=2.
05
Aufgabe 5Volumen Quader und Würfel · standardEin Quader hat Volumen $\mathsf{84\,\mathsf{cm}^3}$ und Höhe $\mathsf{7\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme seine Grundfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G=V/h=84/7=12\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Grundfläche $\mathsf{12\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Volumen Quader und Würfel · standardAlle Kanten eines Quaders werden verdoppelt. Mit welchem Faktor wächst sein Volumen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumenfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V\prime=(2a)(2b)(2c)=8abc=8V}$
Ergebnis
1. Volumenfaktor $\mathsf{8}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Kantenlänge, Oberfläche und Volumen.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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