Besondere Zahlen · Erklären & üben

Quadratzahlen

Du erkennst Quadratzahlen an Punktbildern und Rechnungen und prüfst ihre Eigenschaften an konkreten Zahlen.

Erklärung 01

Quadratische Punktfelder

Eine Quadratzahl entsteht, wenn eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Hier gehören 0,1,2 und so weiter zu den natürlichen Zahlen. Deshalb zählt 0 ebenfalls als Quadratzahl. Ein Punktquadrat zu $\mathsf{n^2}$ besitzt n Reihen mit jeweils n Punkten.

Multipliziere die Zahl mit sich selbst.
Deute $\mathsf{n^2}$ als n mal n und nicht als n mal 2.

$\mathsf{n^2=n\cdot n}$

Sechs Reihen und sechs Spalten mit gleichem Abstand von30 Einheiten ergeben36 Punkte.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{6^2}$ .

6 Reihen enthalten jeweils 6 Punkte.

Das ergibt $\mathsf{6^2=6\cdot6=36}$ .

So geht es am Beispiel

Welche Quadratzahlen entstehen von 0 bis 10?

Quadriere die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 und 5: 0, 1, 4, 9, 16 und 25.

Quadriere 6, 7, 8, 9 und 10: 36, 49, 64, 81 und 100.

Erklärung 02

Quadrate aus Summen aufbauen

Von einem n mal n großen Punktquadrat zum nächsten kommt ein L-förmiger Rand mit $\mathsf{2n+1}$ Punkten hinzu. Deshalb ergeben die ersten n positiven ungeraden Zahlen zusammen $\mathsf{n^2}$ . Auch zwei benachbarte Summen natürlicher Zahlen ergeben ein Quadrat: $\mathsf{(1+\cdots+n)+(1+\cdots+(n-1))=n^2}$ für $\mathsf{n\geq1}$ . Für n=1 ist die zweite Summe leer und hat den Wert 0.

Baue das Quadrat durch ungerade Ränder auf.
Für die zweite Darstellung nimm eine Treppensumme bis n und eine bis $\mathsf{n-1}$ .

$\mathsf{1+3+\cdots+(2n-1)=n^2}$ für $\mathsf{n\geq1}$

Neun Kernpunkte und sieben durch Plus markierte Randpunkte ergeben ein exaktes4×4-Punktquadrat.

Die untere Dreieckshälfte einschließlich Diagonale hat15 A-Punkte, die andere10 B-Punkte.

So geht es am Beispiel

Baue das Quadrat $\mathsf{4^2}$ aus ungeraden Zahlen.

Die ersten vier positiven ungeraden Zahlen sind 1, 3, 5 und 7.

Zuerst gilt $\mathsf{1+3=4}$ .

Dann gilt $\mathsf{4+5=9}$ .

Schließlich gilt $\mathsf{9+7=16}$ .

So geht es am Beispiel

Stelle $\mathsf{5^2}$ mit zwei Summen natürlicher Zahlen dar.

Die Summe bis 5 ist $\mathsf{1+2+3+4+5=15}$ .

Die Summe bis 4 ist $\mathsf{1+2+3+4=10}$ .

Zusammen ergibt das $\mathsf{15+10=25}$ .

Erklärung 03

Teiler und Primfaktoren

Bei einer positiven Quadratzahl treten Teiler als Paare auf. Die Quadratwurzel paart sich mit sich selbst und wird nur einmal gezählt. Deshalb hat jede positive Quadratzahl eine ungerade Anzahl positiver Teiler. Umgekehrt kennzeichnet eine ungerade Teileranzahl positive Quadratzahlen. Die 0 ist aus dieser Aussage ausgeschlossen. In der Primfaktorzerlegung einer positiven Quadratzahl sind sämtliche Exponenten gerade. 1 ist der Sonderfall mit leerer Primfaktorzerlegung.

Ordne die positiven Teiler zu Faktorenpaaren.
Zähle den mittleren Teiler nur einmal.
Prüfe bei Primfaktoren jeden Exponenten auf Geradeheit.

Für positive ganze Zahlen größer als 1 gilt: Quadratzahl genau dann, wenn alle Primfaktorexponenten gerade sind.

So geht es am Beispiel

Untersuche die Teiler von 36.

Die Faktorenpaare sind $\mathsf{1\cdot36}$ , $\mathsf{2\cdot18}$ , $\mathsf{3\cdot12}$ , $\mathsf{4\cdot9}$ und $\mathsf{6\cdot6}$ .

Der Teiler 6 wird nur einmal gezählt.

Die Teilerliste lautet 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

So geht es am Beispiel

Ist 144 eine Quadratzahl? Nutze Primfaktoren.

Die Primfaktorzerlegung lautet $\mathsf{144=2^4\cdot3^2}$ .

Die Exponenten 4 und 2 sind gerade.

Halbierte Exponenten ergeben $\mathsf{2^2\cdot3=12}$ .

Erklärung 04

Endziffern erkennen

Im Dezimalsystem kann eine Quadratzahl nur auf 0,1,4,5,6 oder 9 enden. Das folgt aus dem Quadrieren aller zehn möglichen Endziffern. Eine erlaubte Endziffer beweist jedoch noch nicht, dass die ganze Zahl ein Quadrat ist.

Quadriere die Endziffer.
Lies die letzte Ziffer dieses Ergebnisses ab.
Nutze verbotene Endziffern nur zum Ausschließen.

2, 3, 7 und 8 sind als Endziffern von Quadratzahlen unmöglich.

Die Quadrate der Ziffern0 bis9 zeigen alle möglichen Endziffern einer Quadratzahl.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 58 und 26.

58 endet auf 8 und kann deshalb kein Quadrat einer ganzen Zahl sein.

26 endet zwar auf 6, liegt aber zwischen $\mathsf{5^2=25}$ und $\mathsf{6^2=36}$ .

Erklärung 05

Zahlen mit Endziffer 5 quadrieren

Für eine positive ganze Zahl mit Endziffer 5 nimmst du den Teil vor der letzten Ziffer, multiplizierst ihn mit seinem Nachfolger und hängst die beiden Ziffern 25 an. Bei 5 selbst ist der vordere Teil 0. Die Begründung ist die Formel $\mathsf{(10a+5)^2=100a(a+1)+25}$ für $\mathsf{a\geq0}$ .

Entferne die letzte Ziffer 5 und erhalte a.
Berechne $\mathsf{a(a+1)}$ .
Multipliziere dieses Ergebnis mit 100 und addiere 25.

$\mathsf{(10a+5)^2=100a(a+1)+25}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{45^2}$ .

Der vordere Teil ist 4.

Es gilt $\mathsf{4\cdot5=20}$ .

Daher ist $\mathsf{45^2=20\cdot100+25=2025}$ .

So geht es am Beispiel

Warum funktioniert der Trick?

Ausmultiplizieren ergibt $\mathsf{(10a+5)^2=100a^2+100a+25}$ .

Ausklammern ergibt $\mathsf{100a^2+100a=100a(a+1)}$ .

Die letzten zwei Stellen sind 25, weil der erste Summand ein Vielfaches von 100 ist.

Erklärung 06

Zurück zur Seitenlänge

Die Quadratwurzel macht das Quadrieren auf nichtnegativen Zahlen rückgängig. Beim Punktquadrat bezeichnet sie die Anzahl der Punkte pro Reihe. Das eigenständige Thema Quadratwurzel vertieft die Methode.

Suche die nichtnegative Zahl, deren Quadrat gegeben ist.

Die Quadratwurzel bezeichnet immer den nichtnegativen Wert.

So geht es am Beispiel

Wie viele Punkte pro Reihe hat ein Punktquadrat mit 81 Punkten?

Es gilt $\mathsf{9\cdot9=81}$ .

Die gesuchte nichtnegative Seitenanzahl ist 9.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quadratzahlen · 1Berechne $\mathsf{0^2}$ , $\mathsf{3^2}$ und $\mathsf{8^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
0²
3²
8²
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{0^2=0\cdot0=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{3^2=3\cdot3=9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{8^2=8\cdot8=64}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. 0²0.
2. 3²9.
3. 8²64.
02
Aufgabe 2Quadratzahlen · 1Ein Punktquadrat hat 7 Reihen mit jeweils 7 Punkten. Wie viele Punkte enthält es? Was ist falsch an der Rechnung $\mathsf{7^2=7\cdot2}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punktanzahl
Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{7^2}$ bedeutet 7 mit sich selbst multiplizieren.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{7\cdot7=49}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{7\cdot2}$ wäre eine Verdopplung und ergibt 14.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Punktanzahl49.
2. Korrektur $\mathsf{7^2}$ bedeutet $\mathsf{7\cdot7}$ , nicht $\mathsf{7\cdot2}$ .
03
Aufgabe 3Quadratzahlen · 2Berechne $\mathsf{1+3+5+7+9+11}$ über eine Quadratzahl und nenne die verwendete Anzahl ungerader Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl der Summanden
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Summe enthält die ersten sechs positiven ungeraden Zahlen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ihre Summe ist $\mathsf{6^2=36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl der Summanden6.
2. Summe36.
04
Aufgabe 4Quadratzahlen · 2Berechne $\mathsf{(1+2+3+4+5+6)+(1+2+3+4+5)}$ . Welche Quadratzahl entsteht?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Summe
Zweite Summe
Quadratzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Summe ist 21.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die zweite Summe ist 15.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{21+15=36=6^2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Summe21.
2. Zweite Summe15.
3. Quadratzahl $\mathsf{36=6^2}$
05
Aufgabe 5Quadratzahlen · 2Liste alle positiven Teiler von 64 auf. Erkläre, warum ihre Anzahl ungerade ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teilerliste
Anzahl positiver Teiler
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Faktorenpaare sind $\mathsf{1\cdot64}$ , $\mathsf{2\cdot32}$ , $\mathsf{4\cdot16}$ und $\mathsf{8\cdot8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daraus ergeben sich 1, 2, 4, 8, 16, 32 und 64.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der mittlere Teiler 8 wird nur einmal gezählt; die übrigen sechs Teiler bilden drei Paare.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Teilerliste1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
2. Anzahl positiver Teiler7.
3. BegründungDrei Teilerpaare und der einmal gezählte mittlere Teiler 8 ergeben eine ungerade Anzahl.
06
Aufgabe 6Quadratzahlen · 3Welche der Zahlen 72,83,94 und 108 kannst du allein durch ihre Endziffer als Quadratzahl ausschließen? Ist die übrig bleibende Zahl tatsächlich eine Quadratzahl? Begründe die letzte Entscheidung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durch Endziffer ausgeschlossen
Ist 94 eine Quadratzahl?
Begründung für 94
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Endziffern 2, 3 und 8 sind unmöglich. Daher entfallen 72, 83 und 108.
2. Schritt 2 · Erklärung
  94 endet auf 4 und wird dadurch nicht ausgeschlossen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Aber $\mathsf{9^2=81<94<100=10^2}$ ; auch 94 ist kein Quadrat.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Durch Endziffer ausgeschlossen72, 83, 108.
2. Ist 94 eine Quadratzahl?Nein.
3. Begründung für 9494 liegt zwischen den benachbarten Quadratzahlen 81 und 100.
07
Aufgabe 7Quadratzahlen · 3Prüfe $\mathsf{A=2^2\cdot3^4}$ und $\mathsf{B=2^3\cdot3^2}$ auf Quadratzahleigenschaft. Berechne bei A die nichtnegative Quadratwurzel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Einordnung von A
Nichtnegative Quadratwurzel von A
Einordnung von B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei A sind beide Exponenten gerade.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Halbieren ergibt $\mathsf{\sqrt A=2^1\cdot3^2=18}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei B ist der Exponent 3 der Primzahl 2 ungerade.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Einordnung von AA ist eine Quadratzahl.
2. Nichtnegative Quadratwurzel von A18.
3. Einordnung von BB ist keine Quadratzahl.
08
Aufgabe 8Quadratzahlen · 2Berechne $\mathsf{65^2}$ und $\mathsf{105^2}$ mit dem Trick für Endziffer 5. Notiere jeweils das Produkt der vorderen Zahl mit ihrem Nachfolger.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vorderes Produkt für 65
Quadrat von 65
Vorderes Produkt für 105
Quadrat von 105
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für 65 gilt $\mathsf{6\cdot7=42}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{65^2=4200+25=4225}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für 105 gilt $\mathsf{10\cdot11=110}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{105^2=11000+25=11025}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vorderes Produkt für 6542.
2. Quadrat von 654225.
3. Vorderes Produkt für 105110.
4. Quadrat von 10511025.
09
Aufgabe 9Quadratzahlen · 3Beurteile: „Jede Quadratzahl hat eine ungerade Anzahl positiver Teiler, also auch 0.“ Formuliere die korrekte Aussage und erkläre den Sonderfall 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil zur Aussage einschließlich 0
Korrekte Aussage
Sonderfall 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Teilerpaar-Aussage gilt für positive Quadratzahlen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jede positive ganze Zahl teilt 0, denn ihr Produkt mit 0 ist 0.
3. Schritt 3 · Erklärung
  0 hat unendlich viele positive Teiler; deren Anzahl ist keine endliche ungerade Zahl.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Urteil zur Aussage einschließlich 0Falsch.
2. Korrekte AussageJede positive Quadratzahl hat eine ungerade Anzahl positiver Teiler.
3. Sonderfall 00 ist eine Quadratzahl, hat aber unendlich viele positive Teiler.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Quadrieren und Verdoppeln.
Ich kann Quadratzahlen aus ungeraden Summen aufbauen.
Ich kenne die Grenzen des Endzifferntests.
Ich beachte bei der Teileranzahl den Sonderfall 0.

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