Besondere Zahlen · Erklären & üben

Sieb des Eratosthenes

Du lernst, mit einem Sieb alle Primzahlen eines Bereichs zu finden und jeden Streichschritt zu begründen.

Erklärung 01

Primzahlen gemeinsam finden

Das Sieb des Eratosthenes findet alle Primzahlen bis zu einer gewählten natürlichen Zahl. Eine Primzahl ist größer als 1 und hat genau zwei positive Teiler. Wir verwenden die natürlichen Zahlen einschließlich 0. 0 und 1 sind keine Primzahlen und gehören nicht in die Kandidatenliste.

Schreibe alle Zahlen von 2 bis zur oberen Grenze auf.
Die kleinste noch nicht gestrichene Zahl ist die nächste Siebprimzahl.

Die Siebprimzahl selbst bleibt stehen; gestrichen werden ihre größeren Vielfachen.

So geht es am Beispiel

Starte ein Sieb bis 24.

Die Kandidaten sind die Zahlen von 2 bis einschließlich 24.

2 ist die kleinste Kandidatenzahl und damit die erste Siebprimzahl.

2 bleibt erhalten; ihre größeren Vielfachen werden gestrichen.

Erklärung 02

Streichen ab dem Quadrat

Beim Schritt mit der Primzahl p werden ihre Vielfachen ab dem Quadrat p² gestrichen. Kleinere Vielfache besitzen bereits einen kleineren Primfaktor und wurden deshalb vorher gestrichen. Eine erneut getroffene Zahl bleibt gestrichen.

Streiche bei 2 ab 4 in Zweierschritten.
Gehe zur nächsten ungestrichenen Zahl.
Streiche bei ihr ab ihrem Quadrat in gleich großen Schritten.

Überspringe beim Suchen der nächsten Siebprimzahl alle gestrichenen Zahlen.

Strich: ausgeschlossen. Rest noch nicht fertig geprüft.

So geht es am Beispiel

Führe die Streichschritte bis 24 aus.

Bei 2 streichst du 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 und 24.

Die nächste ungestrichene Zahl ist 3.

Bei 3 streichst du ab 9: 9, 12, 15, 18, 21 und 24.

12, 18 und 24 waren schon gestrichen; neu verschwinden 9, 15 und 21.

Erklärung 03

Wann ist das Sieb fertig?

Stoppe, wenn das Quadrat der nächsten ungestrichenen Zahl größer als die obere Grenze ist. Ist es genau gleich der Grenze, musst du diesen Schritt noch ausführen. Jede zusammengesetzte Zahl hat einen Primteiler höchstens so groß wie ihre Quadratwurzel. Deshalb kann nach dem Stoppen keine zusammengesetzte Zahl ungestrichen übrig sein.

Bestimme die nächste ungestrichene Zahl p.
Vergleiche p² mit der oberen Grenze.
Bei p² höchstens gleich der Grenze siebe weiter; sonst lies alle ungestrichenen Zahlen ab.

Nicht die Siebprimzahl, sondern ihr Quadrat wird mit der Grenze verglichen.

So geht es am Beispiel

Warum ist das Sieb bis 24 nach 3 fertig?

Die nächste ungestrichene Zahl ist 5.

Es gilt $\mathsf{5^2=25>24}$ .

Alle zusammengesetzten Zahlen bis 24 wurden bereits getroffen.

So geht es am Beispiel

Was ändert sich bei der Grenze 25?

Die nächste Siebprimzahl ist wieder 5.

Nun gilt $\mathsf{5^2=25}$ , also liegt das Quadrat noch im Bereich.

25 muss als Vielfaches von 5 gestrichen werden.

Erklärung 04

Ergebnis und Weiterlernen

Lies am Ende alle ungestrichenen Zahlen ab 2 in aufsteigender Reihenfolge ab. Dies sind genau die Primzahlen im gewählten Bereich. Das Thema Primzahlen erklärt Definition, Teilertest und Primzahlgruppen ausführlicher.

Prüfe, dass 1 nicht in deiner Ergebnisliste steht.
Prüfe, dass keine Siebprimzahl selbst gestrichen wurde.

Eine verbliebene Zahl darf erst nach vollständigem Sieben als Ergebnis abgelesen werden.

Kreis: prim. Strich: nicht prim, 1 ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Welche Primzahlen findet das Sieb bis 24?

Nach den Schritten mit 2 und 3 ist die Stopregel erfüllt.

Die ungestrichenen Zahlen werden in Reihenfolge gelesen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Sieb des Eratosthenes · 1Welche der Zahlen 0,1,2,3 gehören in die Startliste eines Siebs bis 12? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Startzahlen aus der Auswahl
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Startliste beginnt bei 2.
2. Schritt 2 · Erklärung
  0 und 1 sind keine Primzahlen und werden ausgeschlossen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Startzahlen aus der Auswahl2 und 3.
2. BegründungDie Kandidatenliste enthält genau die Zahlen von 2 bis zur Grenze.
02
Aufgabe 2Sieb des Eratosthenes · 1Notiere beim Sieb bis 18 alle Zahlen, die im Schritt mit 2 gestrichen werden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gestrichene Zahlen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  2 bleibt erhalten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die größeren Vielfachen von 2 beginnen bei 4.
3. Schritt 3 · Erklärung
  In Zweierschritten endet die Liste bei 18.
Ergebnis
1. Gestrichene Zahlen4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.
03
Aufgabe 3Sieb des Eratosthenes · 2Beim Sieb bis 18 ist der Schritt mit 2 erledigt. Welche Zahlen werden im Schritt mit 3 getroffen, welche davon neu gestrichen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Getroffen
Neu gestrichen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei 3 beginnt der Schritt mit $\mathsf{3^2=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Getroffen werden 9, 12, 15 und 18.
3. Schritt 3 · Erklärung
  12 und 18 waren bereits im Zweierschritt gestrichen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Getroffen9, 12, 15, 18.
2. Neu gestrichen9 und 15.
04
Aufgabe 4Sieb des Eratosthenes · 2Markiere in der vorbereiteten Liste bis 28 alle Nichtprimzahlen durch einen Strich. Die 1 wird ausgeschlossen. Notiere anschließend die Primzahlen und ihre Anzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl der Primzahlen
Primzahlen bis 28
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  1 wird ausgeschlossen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei 2 streichst du 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 und 28.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei 3 werden 9, 12, 15, 18, 21, 24 und 27 getroffen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Bei 5 wird 25 gestrichen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Wegen $\mathsf{7^2=49>28}$ endet das Sieb.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl der Primzahlen9.
2. Primzahlen bis 282, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
05
Aufgabe 5Sieb des Eratosthenes · 2Welche Siebprimzahlen brauchst du für die Grenze 40? Erkläre die Stopregel mit der nächsten Primzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Siebprimzahlen
Stoppen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  2, 3 und 5 haben Quadrate höchstens 40.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die nächste Primzahl ist 7.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{7^2=49>40}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Siebprimzahlen2, 3 und 5.
2. StoppenVor dem Schritt mit 7, denn sein Quadrat ist größer als 40.
06
Aufgabe 6Sieb des Eratosthenes · 3Ein Sieb bis 49 endet nach dem Schritt mit 5. Warum ist das zu früh? Welche Zahl bleibt sonst fälschlich stehen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Warum das Sieb zu früh endet
Falsch verbliebene Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die nächste Primzahl ist 7.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{7^2=49}$ ; Gleichheit reicht nicht zum Stoppen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  49 besitzt den Primteiler 7 und wurde von 2, 3 und 5 nicht getroffen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Warum das Sieb zu früh endetEs gilt $\mathsf{7^2=49}$ ; Gleichheit reicht nicht zum Stoppen. Auch der Schritt mit 7 ist nötig.
2. Falsch verbliebene Zahl49.
07
Aufgabe 7Sieb des Eratosthenes · 3Warum darfst du bei der Siebprimzahl 5 mit 25 beginnen und 10,15 und 20 überspringen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  10 und 20 sind durch 2 teilbar und wurden beim Zweierschritt gestrichen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  15 ist durch 3 teilbar und wurde beim Dreierschritt gestrichen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  25 ist das erste Vielfache von 5, das nicht schon einen kleineren Primfaktor besitzt.
Ergebnis
1. Begründung10 und 20 sind bereits durch 2, 15 bereits durch 3 erfasst; der neue Schritt beginnt bei 25.
08
Aufgabe 8Sieb des Eratosthenes · 3Nach den Schritten mit 2,3 und 5 nennt jemand für den Bereich 29 bis 40 die Zahlen 29,31,35 und 37 als Primzahlen. Korrigiere die Liste.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierte Liste
Fehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  35 ist durch 5 teilbar und muss gestrichen sein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  29, 31 und 37 sind nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Weitere Tests sind wegen $\mathsf{7^2=49>40}$ nicht nötig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrigierte Liste29, 31 und 37.
2. Fehler35 wurde im Schritt mit 5 übersehen.
09
Aufgabe 9Sieb des Eratosthenes · 2Beim Sieben bis 16 wurde auch die Zahl 2 gestrichen. Erkläre, warum das falsch ist, und gib die richtige Ergebnisliste an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur
Primzahlen bis 16
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Siebprimzahl selbst bleibt erhalten; bei 2 beginnt das Streichen erst mit 4.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beim Schritt mit 3 werden 9, 12 und 15 getroffen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Wegen $\mathsf{5^2>16}$ ist das Sieb danach fertig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrektur2 darf nicht gestrichen werden.
2. Primzahlen bis 162, 3, 5, 7, 11, 13.
3. BegründungDie Siebprimzahl selbst bleibt erhalten; bei 2 beginnt das Streichen erst mit 4.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann den Start, den Streichbeginn und die Stopregel begründen.
Ich lasse die Siebprimzahl selbst stehen.
Ich unterscheide einen Zwischenstand vom fertigen Ergebnis.

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