Prozente im Alltag · Erklären & üben

Rabatt berechnen

Ein Rabatt vermindert einen Ausgangspreis. Du kannst den Nachlassbetrag, den neuen Preis, den Rabattsatz oder den früheren Preis berechnen. Alle Angebote in diesem Material sind erfundene Rechenbeispiele.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nachlass und Endpreis

Der positive Ausgangspreis G ist der Bezugswert. Bei einem Rabatt von p Prozent gilt $\mathsf{0\le p\le100}$ . Der Nachlass R ist ein Geldbetrag, der Rabattsatz eine Prozentangabe. Der Endpreis E entsteht durch Abziehen des Nachlasses. Geldbeträge runden wir erst am ausdrücklich genannten Schritt auf Cent; ohne Zwischenrundung rechnen wir mit den ungerundeten Werten weiter.

Benenne den Ausgangspreis.
Berechne Nachlass oder verbleibenden Faktor.
Runde erst am vereinbarten Schritt.

$\mathsf{R=G\cdot p/100}$ , $\mathsf{E=G-R}$ .

15 % Rabatt auf 80 Euro. Vorher: 80 Euro, Nachher: 68 Euro. Nachlass: 12 Euro; verbleibender Preis: 85 % von 80 Euro.

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Artikel kostet 80 Euro und wird um 15 % reduziert.

Berechne den Nachlass: $\mathsf{80\cdot0{,}15=12}$ .

Ziehe ihn ab: $\mathsf{80-12=68}$ .

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Artikel kostet 49,90 Euro; es gelten 15 % Rabatt. Runde nur den Endpreis auf Cent.

Der Faktor ist $\mathsf{1-0{,}15=0{,}85}$ .

Der ungerundete Preis ist $\mathsf{49{,}90\cdot0{,}85=42{,}415}$ .

Runde auf Cent: $\mathsf{42{,}415\approx42{,}42}$ .

Erklärung 02

Den Rabattsatz ermitteln

Kennst du alten und neuen Preis, berechnest du zuerst den Nachlass. Der Rabatt bezieht sich auf den alten Preis, nicht auf den Endpreis. Der alte Preis muss positiv sein.

Subtrahiere den Endpreis vom alten Preis.
Teile durch den alten Preis.
Schreibe den Anteil in Prozent.

$\mathsf{p=\frac{G-E}{G}\cdot100}$ .

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Preis sinkt von 120 auf 90 Euro.

Der Nachlass beträgt $\mathsf{120-90=30}$ .

Der Anteil am alten Preis ist $\mathsf{30:120=0{,}25}$ .

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Preis sinkt von 75 auf 60 Euro.

Der Nachlass ist $\mathsf{75-60=15}$ .

Teile $\mathsf{15:75=0{,}2}$ .

Erklärung 03

Den früheren Preis zurückrechnen

Bei einem Rabatt unter 100 % ist der verbleibende Faktor positiv. Du erhältst den Ausgangspreis durch Division des Endpreises durch diesen Faktor. Nach 100 % Rabatt ist der Endpreis null; der alte Preis ist daraus nicht eindeutig bestimmbar.

Bilde den verbleibenden Faktor.
Prüfe ihn auf null.
Dividiere nur bei positivem Faktor.

$\mathsf{G=E/(1-p/100)}$ für $\mathsf{0\le p<100}$ .

20 % Rabatt: vorwärts und rückwärts. 90 Euro · 0,80 = 72 Euro. 80 % des alten Preises bleiben übrig.. 72 Euro : 0,80 = 90 Euro. Rückrechnung durch einen positiven Faktor.. Bei 100 % Rabatt ist der Faktor null: keine Rückrechnung.

So geht es am Beispiel

Nach 20 % Rabatt kostet ein erfundener Artikel 72 Euro.

Der Faktor ist $\mathsf{1-0{,}20=0{,}80}$ .

Teile $\mathsf{72:0{,}80=90}$ .

So geht es am Beispiel

Nach 100 % Rabatt ist ein Preis null. Kann man den früheren Preis bestimmen?

Der Faktor ist $\mathsf{1-1=0}$ .

Jeder positive Ausgangspreis wird mit diesem Faktor auf null abgebildet.

Erklärung 04

Rabatt und vereinbartes Skonto nacheinander

Skonto bezeichnet hier einen ausdrücklich vereinbarten weiteren Preisnachlass bei Erfüllung einer Zahlungsbedingung. Es besteht im Beispiel kein automatisch vorausgesetzter Anspruch. Wenn nach einem Rabatt noch Skonto gewährt wird, ist der reduzierte Rechnungsbetrag dessen Bezugswert. Zwei aufeinanderfolgende Rabatte funktionieren genauso.

Benenne den Bezug jedes Nachlasses.
Multipliziere die verbleibenden Faktoren.
Addiere nicht die Rabattsätze.

$\mathsf{E=G\cdot(1-p_1/100)\cdot(1-p_2/100)}$ .

Vereinbart: 10 % Rabatt, danach 2 % Skonto. 200 Euro · 0,90 = 180 Euro. Rabatt bezieht sich auf 200 Euro.. 180 Euro · 0,98 = 176,40 Euro. Skonto bezieht sich auf 180 Euro.. 0,90 · 0,98 = 0,882. Gesamtnachlass: 11,8 %, nicht 12 %.. Beide Nachlässe verwenden verschiedene Bezugsbeträge.

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Artikel kostet 200 Euro. Vereinbart sind 10 % Rabatt und danach 2 % Skonto auf den reduzierten Betrag.

Nach Rabatt: $\mathsf{200\cdot0{,}90=180}$ .

Skonto: $\mathsf{180\cdot0{,}02=3{,}60}$ .

Endpreis: $\mathsf{180-3{,}60=176{,}40}$ .

Gesamtfaktor: $\mathsf{0{,}90\cdot0{,}98=0{,}882}$ .

Gesamtrabattanteil: $\mathsf{1-0{,}882=0{,}118}$ .

So geht es am Beispiel

Nach 20 % Rabatt und weiteren 10 % Rabatt kostet ein erfundener Artikel 108 Euro.

Gesamtfaktor: $\mathsf{0{,}80\cdot0{,}90=0{,}72}$ .

Rückrechnung: $\mathsf{108:0{,}72=150}$ .

Erklärung 05

Vergleichen und Anschluss zur Zinsrechnung

Vergleiche bei Angeboten die Endpreise auf derselben Basis. Weitere Kosten werden hier nicht unterstellt. Die Zinsrechnung verwendet ebenfalls Prozentanteile, benötigt aber zusätzlich eine Zeit- und Periodenangabe. Ein Rabatt ist hier eine einmalige Preisänderung, kein Zinsmodell.

Prüfe dieselbe Vergleichsbasis.
Berechne jeden Endpreis.
Trenne einmaligen Nachlass und zeitbezogene Verzinsung.

Gleicher Ausgangspreis und gleiche Bedingungen ermöglichen einen direkten Vergleich.

So geht es am Beispiel

Bei 100 Euro Ausgangspreis bietet A einmal 25 % Rabatt, B erst 20 % und dann 10 %. Welcher Endpreis ist kleiner?

Angebot A: $\mathsf{100\cdot0{,}75=75}$ .

Gesamtfaktor B: $\mathsf{0{,}80\cdot0{,}90=0{,}72}$ .

Angebot B: $\mathsf{100\cdot0{,}72=72}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Rabatt berechnen · 1Ein erfundener Artikel kostet 60 Euro. Berechne bei 10 % Rabatt den Nachlass und den Endpreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nachlass
Endpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nachlass: $\mathsf{60\cdot0{,}10=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Endpreis: $\mathsf{60-6=54}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nachlass6,00 Euro
2. Endpreis54,00 Euro
02
Aufgabe 2Rabatt berechnen · 1Ein erfundener Artikel kostet 160 Euro. Berechne den Endpreis nach 25 % Rabatt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-0{,}25=0{,}75}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Endpreis: $\mathsf{160\cdot0{,}75=120}$ .
Ergebnis
1. Endpreis120,00 Euro
03
Aufgabe 3Rabatt berechnen · 2Ein erfundener Preis sinkt von 150 auf 120 Euro. Bestimme den Rabatt in Prozent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rabattsatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nachlass: $\mathsf{150-120=30}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Anteil: $\mathsf{30:150=0{,}20}$ .
Ergebnis
1. Rabattsatz20 %
04
Aufgabe 4Rabatt berechnen · 2Nach 30 % Rabatt kostet ein erfundener Artikel 84 Euro. Bestimme den alten Preis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alter Preis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-0{,}30=0{,}70}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rückrechnung: $\mathsf{84:0{,}70=120}$ .
Ergebnis
1. Alter Preis120,00 Euro
05
Aufgabe 5Rabatt berechnen · 2Ein erfundener Preis von 39,90 Euro wird um 12 % reduziert. Runde erst den Endpreis auf Cent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-0{,}12=0{,}88}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ungerundet: $\mathsf{39{,}90\cdot0{,}88=35{,}112}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Auf Cent gerundet: $\mathsf{35{,}112\approx35{,}11}$ .
Ergebnis
1. Endpreis35,11 Euro
06
Aufgabe 6Rabatt berechnen · 3Auf 500 Euro gelten vereinbart 20 % Rabatt und anschließend 3 % Skonto auf den reduzierten Preis. Gib Rabattpreis, Skontobetrag und Endpreis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Preis nach Rabatt
Skontobetrag
Endpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Rabattpreis: $\mathsf{500\cdot0{,}80=400}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Skonto: $\mathsf{400\cdot0{,}03=12}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Endpreis: $\mathsf{400-12=388}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Preis nach Rabatt400,00 Euro
2. Skontobetrag12,00 Euro
3. Endpreis388,00 Euro
07
Aufgabe 7Rabatt berechnen · 3Ein Preis wird zuerst um 10 %, dann um 20 % reduziert. Bestimme den Gesamtrabatt. Ist er 30 %? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamtrabatt
Sind es 30 Prozent?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtfaktor: $\mathsf{0{,}90\cdot0{,}80=0{,}72}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nachlassanteil: $\mathsf{1-0{,}72=0{,}28}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gesamtrabatt28 %
2. Sind es 30 Prozent?Nein
3. BegründungDer zweite Rabatt bezieht sich auf den bereits reduzierten Preis. Deshalb werden die Faktoren multipliziert.
08
Aufgabe 8Rabatt berechnen · 3Nach 25 % Rabatt und weiteren 20 % Rabatt kostet ein erfundener Artikel 90 Euro. Bestimme den Ausgangspreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgangspreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtfaktor: $\mathsf{0{,}75\cdot0{,}80=0{,}60}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rückrechnung: $\mathsf{90:0{,}60=150}$ .
Ergebnis
1. Ausgangspreis150,00 Euro
09
Aufgabe 9Rabatt berechnen · 3Ein erfundener Artikel kostet nach 100 % Rabatt null Euro. Ist der frühere Preis eindeutig berechenbar? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eindeutig berechenbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der verbleibende Faktor ist null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verschiedene positive Ausgangspreise ergeben denselben Endpreis null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eindeutig berechenbar?Nein
2. BegründungDer Ausgangspreis lässt sich aus null Euro nicht rekonstruieren. Eine Division durch den Faktor null ist unzulässig.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich trenne Nachlassbetrag und Rabattsatz.
Ich beziehe Rabatt auf den alten Preis.
Ich rechne aufeinanderfolgende Nachlässe mit Faktoren.
Ich runde am vereinbarten Schritt.

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