Kreise berechnen · Erklären & üben

Radius berechnen

Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie. Je nach gegebener Größe bestimmst du ihn durch Halbieren, Teilen oder Wurzelziehen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Größe ist bekannt?

Die gesuchte Größe ist immer eine Länge. Ein Radius ist positiv. Prüfe vor dem Einsetzen, ob eine gegebene Fläche in Quadrateinheiten oder ein Volumen in Kubikeinheiten steht.

Gegebenes Formelzeichen bestimmen.
Formel nach r umstellen.

Radius und Durchmesser dürfen nicht verwechselt werden.

Erklärung 02

Aus dem Durchmesser

Halbiere den Durchmesser, weil er aus zwei Radien besteht.

Die Einheit bleibt unverändert.

$\mathsf{r=\frac d2}$

So geht es am Beispiel

d = 15 cm. Bestimme r.

\mathsf{r=15:2=7{,}5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Aus dem Umfang

Teile den Umfang durch 2π. Nur durch π zu teilen würde den Durchmesser liefern.

Setze einen exakten π-Ausdruck möglichst vor dem Runden ein.

$\mathsf{r=\frac U{2\pi}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{U=12\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme r.

\mathsf{r=\frac{12\pi}{2\pi}=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Aus dem Flächeninhalt

Teile A zunächst durch π. Das Ergebnis ist r², noch nicht der Radius. Ziehe anschließend die positive Quadratwurzel.

Die Wurzel aus einer Quadrateinheit ergibt die zugehörige Längeneinheit.

$\mathsf{r=\sqrt{\frac A\pi}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A=49\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme r.

\mathsf{r^2=49\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{r=7\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Vertiefung: Radius aus einem Volumen

Vorkenntnisse: Volumenformeln, Umstellen und Wurzeln. Bei Zylinder und geradem Kreiskegel ist h die senkrechte Höhe und r der Radius der Kreisgrundfläche. Alle Längen müssen dieselbe Einheit verwenden.

Zylinder: $\mathsf{V=\pi r^2h}$ , also $\mathsf{r=\sqrt{V/(\pi h)}}$ .

Kegel: $\mathsf{V=\frac13\pi r^2h}$ , also $\mathsf{r=\sqrt{3V/(\pi h)}}$ .

Kugel: $\mathsf{V=\frac43\pi r^3}$ , also $\mathsf{r=\sqrt[3]{3V/(4\pi)}}$ .

Identifiziere den Körper, bevor du eine Volumenformel auswählst.
Die Kugelformel verlangt eine dritte Wurzel, keine Quadratwurzel.

Die Höhe muss größer als null sein; Radien werden positiv gewählt.

Schrägbilder eines geraden Kreiszylinders und geraden Kreiskegels; Höhe senkrecht zur Grundfläche, Radius in Grundfläche.

So geht es am Beispiel

Zylinder: $\mathsf{V=80\pi\,\mathsf{cm}^3}$ , $\mathsf{h=5\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{r=\sqrt{\frac{80\pi}{5\pi}}=\sqrt{16}=4\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

Kegel: $\mathsf{V=48\pi\,\mathsf{cm}^3}$ , $\mathsf{h=9\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{r=\sqrt{\frac{3\cdot48\pi}{9\pi}}=4\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

Kugel: $\mathsf{V=36\pi\,\mathsf{cm}^3}$ .

\mathsf{r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot36\pi}{4\pi}}=\sqrt[3]{27}=3\,\mathsf{cm}}

Erklärung 06

Radius bei Kreisteilen

Für einen Kreisbogen oder einen Sektor reicht die Bogenlänge oder Teilfläche allein nicht zur Radiusbestimmung. Zusätzlich brauchst du etwa den Mittelpunktswinkel. Ein ganzer Kreis entspricht 360°.

Weiterlernen: Kreisbogen und Kreisausschnitt für Winkelanteile am ganzen Kreis.

Eine Teilfläche darf nicht ohne Weiteres als vollständige Kreisfläche eingesetzt werden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Radius berechnen · Anwendend = 17 cm. Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=17:2=8{,}5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Radius8,5 cm
02
Aufgabe 2Radius berechnen · Anwenden $\mathsf{U=22\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=22\pi/(2\pi)=11\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Radius11 cm
03
Aufgabe 3Radius berechnen · Anwenden $\mathsf{A=81\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{81}=9\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Radius9 cm
04
Aufgabe 4Radius berechnen · AnwendenNutze die dargestellte Strecke MP als Radius. Zeichne den Kreis um M durch P. Die Vorlage ist skaliert; übernimm die gezeichnete Strecke mit dem Zirkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze die Zirkelspitze in M und öffne den Zirkel bis P.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne den vollständigen Kreis bei unveränderter Öffnung.
Ergebnis
1. KonstruktionKreis mit Mittelpunkt M durch P.
05
Aufgabe 5Radius berechnen · AnwendenVertiefung: Zylinder mit $\mathsf{V=72\pi\,\mathsf{cm}^3}$ und $\mathsf{h=8\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{\frac{72\pi}{8\pi}}=\sqrt9=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Grundkreisradius3 cm
06
Aufgabe 6Radius berechnen · AnwendenVertiefung: Gerader Kreiskegel mit $\mathsf{V=75\pi\,\mathsf{cm}^3}$ und $\mathsf{h=9\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{\frac{3\cdot75\pi}{9\pi}}=\sqrt{25}=5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Grundkreisradius5 cm
07
Aufgabe 7Radius berechnen · AnwendenVertiefung: Kugel mit $\mathsf{V=288\pi\,\mathsf{cm}^3}$ . Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kugelradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot288\pi}{4\pi}}=\sqrt[3]{216}=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Kugelradius6 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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