Rechenregeln · Erklären & üben

Rechengesetze

Rechengesetze helfen dir, einen Term wertgleich umzuschreiben. Du unterscheidest Vertauschen, Umklammern und Verteilen und nutzt passende Zahlenpaare.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei unterschiedliche Veränderungen

Das Kommutativgesetz vertauscht Summanden oder Faktoren. Das Assoziativgesetz verändert bei einer reinen Addition oder Multiplikation die Klammerung. Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion. Diese Gesetze gelten für rationale Zahlen und ebenso für reelle Zahlen. Variablen dürfen für solche Zahlen stehen; bei Divisionen müssen alle Divisoren ungleich null sein.

Lies das Rechenzeichen.
Benenne, ob Reihenfolge, Klammerung oder Verteilung verändert wird.

Benutze nur ein Gesetz, das zur vorhandenen Rechenoperation passt.

Vertauschen erhält die Gesamtsumme. Die Gesamtlänge ist in beiden Reihen gleich. 8 + 17 = 17 + 8 = 25

So geht es am Beispiel

Welche Veränderung zeigt $\mathsf{8+17=17+8}$ ?

Die beiden Summanden wechseln ihre Reihenfolge.

Das ist das Kommutativgesetz der Addition.

Beide Seiten haben den Wert $\mathsf{8+17=25}$ .

Erklärung 02

Geschickt vertauschen und zusammenfassen

Addition und Multiplikation sind vertauschbar und beliebig klammerbar. In längeren Summen oder Produkten kannst du beide Gesetze nacheinander einsetzen. Beim Umklammern allein bleibt die Reihenfolge erhalten.

Suche Summanden, die eine runde Summe ergeben.
Suche Faktoren, deren Produkt leicht weiterzurechnen ist.
Begründe Vertauschen und Umklammern getrennt.

$\mathsf{a+b=b+a}$ und $\mathsf{(a+b)+c=a+(b+c)}$ . Entsprechend gilt das für Produkte.

Die Folge 4, 6, 3 bleibt erhalten. Zuerst werden 4 und 6, danach alternativ 6 und 3 zusammengefasst. Beide Summen ergeben 13.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{36+19+64}$ geschickt.

Vertausche die letzten beiden Summanden: $\mathsf{36+64+19}$ .

Fasse die ersten beiden zusammen: $\mathsf{(36+64)+19}$ .

Berechne die Klammer: $\mathsf{36+64=100}$ .

Addiere den Rest: $\mathsf{100+19=119}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{25\cdot7\cdot4}$ geschickt.

Vertausche 7 und 4: $\mathsf{25\cdot4\cdot7}$ .

Klammere die ersten Faktoren: $\mathsf{(25\cdot4)\cdot7}$ .

Das günstige Produkt ist $\mathsf{25\cdot4=100}$ .

Multipliziere $\mathsf{100\cdot7=700}$ .

Erklärung 03

Verteilen und gemeinsam ausklammern

Ein Faktor vor einer Summe wird mit jedem Summanden multipliziert. Bei einer Differenz wird ebenfalls jeder Teil mit dem Faktor multipliziert; das Minus bleibt erhalten. Rückwärts fasst du einen gemeinsamen Faktor vor einer Klammer zusammen.

Erkenne einen Faktor an einer Summe oder in mehreren Produkten.
Verteile ihn auf alle Summanden oder klammere ihn gemeinsam aus.

$\mathsf{a(b+c)=ab+ac}$ und $\mathsf{ab+ac=a(b+c)}$ .

Rechteck mit Höhe 4 und Breite 9, in Breiten 6 und 3 geteilt. Teilflächen 24 und 12, Gesamtfläche 36.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{7\cdot(20+3)}$ durch Verteilen.

Verteile den Faktor: $\mathsf{7\cdot20+7\cdot3}$ .

Das erste Teilprodukt ist $\mathsf{7\cdot20=140}$ .

Das zweite Teilprodukt ist $\mathsf{7\cdot3=21}$ .

Addiere $\mathsf{140+21=161}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{9\cdot14+9\cdot6}$ durch Ausklammern.

Der Faktor 9 kommt in beiden Produkten vor.

Klammere aus: $\mathsf{9\cdot(14+6)}$ .

Die Klammer ergibt $\mathsf{14+6=20}$ .

Multipliziere $\mathsf{9\cdot20=180}$ .

Erklärung 04

Grenzen bei Minus und Geteilt

Subtraktion und Division sind im Allgemeinen weder vertauschbar noch beliebig klammerbar. Eine Subtraktion kann als Addition der Gegenzahl geschrieben werden. Beim Umordnen bleibt dann das Vorzeichen bei der zugehörigen Zahl. Ein Divisor muss ungleich null sein.

Prüfe das Rechenzeichen vor jeder Umformung.
Schreibe bei Bedarf die Subtraktion als Addition einer Gegenzahl.
Nimm beim Vertauschen das Vorzeichen mit.

$\mathsf{a-b=a+(-b)}$ erlaubt Umordnen der ganzen vorzeichenbehafteten Summanden.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{12-5}$ und $\mathsf{5-12}$ .

Die erste Differenz ist $\mathsf{12-5=7}$ .

Die zweite Differenz ist $\mathsf{5-12=-7}$ .

Die verschiedenen Werte widerlegen ein allgemeines Vertauschungsgesetz für Subtraktion.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{(24:6):2}$ und $\mathsf{24:(6:2)}$ .

Links zuerst $\mathsf{24:6=4}$ .

Links danach $\mathsf{4:2=2}$ .

Rechts zuerst $\mathsf{6:2=3}$ .

Rechts danach $\mathsf{24:3=8}$ .

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{18-7+2}$ so um, dass 18 und 2 zusammenstehen.

Schreibe die Subtraktion als Addition: $\mathsf{18+(-7)+2}$ .

Vertausche die letzten Summanden: $\mathsf{18+2+(-7)}$ .

Berechne $\mathsf{18+2=20}$ .

Addiere die Gegenzahl: $\mathsf{20+(-7)=13}$ .

Erklärung 05

Reihenfolge und sinnvoller Anschluss

Berechne Klammern zuerst, darin ebenso nach den Rechenregeln. Danach kommen Potenzen, dann Multiplikation und Division gleichrangig von links nach rechts, anschließend Addition und Subtraktion gleichrangig von links nach rechts. Wertgleiche Umformungen können eine Rechnung erleichtern. Die Themen Ausmultiplizieren und Ausklammern sowie Punkt vor Strich vertiefen diese Schritte.

Beachte vorhandene Klammern.
Rechne gleichrangige Operationen von links.
Nutze Gesetze nur für wertgleiche Umformungen.

Multiplikation hat keinen Vorrang vor Division.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{18:3\cdot2+4}$ .

Division und Multiplikation sind gleichrangig: Beginne links mit $\mathsf{18:3=6}$ .

Multipliziere danach $\mathsf{6\cdot2=12}$ .

Addiere zuletzt $\mathsf{12+4=16}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Rechengesetze · 1Ergänze $\mathsf{23+41=41+\square}$ . Nenne das verwendete Gesetz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlende Zahl
Gesetz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die beiden Summanden werden vertauscht.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der fehlende Summand ist deshalb 23.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehlende Zahl23
2. GesetzKommutativgesetz
02
Aufgabe 2Rechengesetze · 1Berechne $\mathsf{48+27+52}$ geschickt. Nenne die günstig zusammengefassten Zahlen und das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Günstiges Zahlenpaar
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vertausche die letzten Summanden: $\mathsf{48+52+27}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{(48+52)+27}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Klammer ergibt $\mathsf{48+52=100}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{100+27=127}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Günstiges Zahlenpaar48 und 52
2. Ergebnis127
03
Aufgabe 3Rechengesetze · 1Berechne $\mathsf{4\cdot13\cdot25}$ geschickt. Nenne das günstige Faktorenpaar und das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Günstiges Faktorenpaar
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vertausche die letzten Faktoren: $\mathsf{4\cdot25\cdot13}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{(4\cdot25)\cdot13}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{4\cdot25=100}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{100\cdot13=1300}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Günstiges Faktorenpaar4 und 25
2. Ergebnis1300
04
Aufgabe 4Rechengesetze · 2Berechne $\mathsf{6\cdot(30+4)}$ durch Verteilen. Gib beide Teilprodukte und das Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Teilprodukt
Zweites Teilprodukt
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verteile 6: $\mathsf{6\cdot30+6\cdot4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Teilprodukt: $\mathsf{6\cdot30=180}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Teilprodukt: $\mathsf{6\cdot4=24}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{180+24=204}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Teilprodukt180
2. Zweites Teilprodukt24
3. Ergebnis204
05
Aufgabe 5Rechengesetze · 2Klammere in $\mathsf{8\cdot17+8\cdot3}$ den Faktor 8 aus. Gib den Klammerterm und den Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Klammerterm
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  8 kommt in beiden Produkten vor.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Klammerterm lautet $\mathsf{8\cdot(17+3)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{17+3=20}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{8\cdot20=160}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Klammerterm $\mathsf{8\cdot(17+3)}$
2. Wert160
06
Aufgabe 6Rechengesetze · 2Berechne $\mathsf{15-9}$ und $\mathsf{9-15}$ . Gilt für Subtraktion allgemein das Kommutativgesetz? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Differenz
Zweite Differenz
Allgemein vertauschbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Differenz ist $\mathsf{15-9=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die zweite Differenz ist $\mathsf{9-15=-6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Werte sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Differenz6
2. Zweite Differenz−6
3. Allgemein vertauschbar?Nein
4. BegründungDas Vertauschen verändert hier den Wert von 6 zu −6.
07
Aufgabe 7Rechengesetze · 3Berechne $\mathsf{(30:5):2}$ und $\mathsf{30:(5:2)}$ . Ist diese Umklammerung wertgleich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Wertgleich?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links zuerst $\mathsf{30:5=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dann $\mathsf{6:2=3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts zuerst $\mathsf{5:2=2{,}5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dann $\mathsf{30:2{,}5=12}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert3
2. Rechter Wert12
3. Wertgleich?Nein
08
Aufgabe 8Rechengesetze · 2Ordne $\mathsf{27-8+3}$ so um, dass die positiven Summanden zusammenstehen. Gib den umgeordneten Term und den Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umgeordneter Term
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{27+(-8)+3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vertausche die letzten Summanden: $\mathsf{27+3+(-8)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{27+3=30}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Rechne $\mathsf{30+(-8)=22}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umgeordneter Term $\mathsf{27+3+(-8)}$
2. Wert22
09
Aufgabe 9Rechengesetze · 3Berechne $\mathsf{24:4\cdot3+2^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne die Potenz: $\mathsf{2^2=4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rechne die Punktoperationen von links: $\mathsf{24:4=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{6\cdot3=18}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{18+4=22}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis22

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Vertauschen und Umklammern.
Ich verteile einen Faktor auf jeden Summanden.
Ich nehme Vorzeichen beim Umordnen mit.
Ich rechne gleichrangige Operationen von links nach rechts.

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