Rechenregeln · Erklären & üben

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz erlaubt dir, Summanden oder Faktoren zu vertauschen. Dabei bleibt der Wert der Summe oder des Produkts gleich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vertauschen verändert die Reihenfolge

Für rationale und reelle Zahlen gilt das Kommutativgesetz bei Addition und Multiplikation. Du vertauschst ganze Summanden oder Faktoren. Die Operation bleibt dieselbe. Mit Variablen wird dieselbe Aussage allgemein geschrieben.

Bestimme die ganzen Summanden oder Faktoren.
Vertausche ihre Positionen, ohne die Zahlen oder Vorzeichen zu ändern.

$\mathsf{a+b=b+a}$ und $\mathsf{a\cdot b=b\cdot a}$ .

Zwei Gruppen in anderer Reihenfolge. Die Gesamtlänge ist in beiden Reihen gleich. Beide Summen ergeben zehn.

Ein Feld aus 3 Reihen und 5 Spalten. Beide Zählweisen erfassen dieselben 15 Punkte.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{6+4}$ und $\mathsf{4+6}$ .

Sechs Gegenstände und vier weitere ergeben $\mathsf{6+4=10}$ .

Die gleichen Gruppen in anderer Reihenfolge ergeben $\mathsf{4+6=10}$ .

So geht es am Beispiel

Warum ist $\mathsf{3\cdot5=5\cdot3}$ ?

Ein Punktefeld hat drei Reihen mit je fünf Punkten.

Dasselbe Feld hat fünf Spalten mit je drei Punkten.

Beide Zählweisen erfassen dieselben 15 Punkte.

Erklärung 02

Geschickte Addition und Multiplikation

Suche in einer Summe Zahlen, die zusammen einen runden Wert ergeben. In einem Produkt helfen etwa Faktoren mit dem Produkt 10 oder 100. Bei mehr als zwei Zahlen ist zum anschließenden Zusammenfassen zusätzlich das Assoziativgesetz nötig. Vertauschen und Umklammern sind verschiedene Handlungen.

Suche ein günstiges Paar.
Vertausche ganze Summanden oder Faktoren.
Fasse das Paar mit dem Assoziativgesetz zusammen.

Erst passend umordnen, dann günstig zusammenfassen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{75+18+25}$ geschickt.

Vertausche die letzten Summanden: $\mathsf{75+25+18}$ .

Klammere die ersten beiden: $\mathsf{(75+25)+18}$ .

Berechne $\mathsf{75+25=100}$ .

Addiere $\mathsf{100+18=118}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{5\cdot37\cdot2}$ geschickt.

Vertausche die letzten Faktoren: $\mathsf{5\cdot2\cdot37}$ .

Fasse zusammen: $\mathsf{(5\cdot2)\cdot37}$ .

Berechne $\mathsf{5\cdot2=10}$ .

Multipliziere $\mathsf{10\cdot37=370}$ .

Erklärung 03

Negative Zahlen und Brüche

Negative Zahlen werden mit ihrem Vorzeichen vertauscht. Das Gesetz gilt auch für Brüche und Dezimalzahlen. Ein Bruch ist dabei ein ganzer Summand oder Faktor; Zähler und Nenner werden nicht miteinander vertauscht.

Behandle ein Vorzeichen als Teil der Zahl.
Vertausche bei Brüchen die ganzen Brüche.
Beachte Nenner ungleich null.

$\mathsf{(-a)+b=b+(-a)}$ und $\mathsf{\frac ab\cdot\frac cd=\frac cd\cdot\frac ab}$ für $\mathsf{b\ne0}$ , $\mathsf{d\ne0}$ .

Minus acht plus dreizehn ist gleich dreizehn plus minus acht. Das negative Vorzeichen bleibt an der Zahl acht. Beide Werte sind fünf.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-8)+13}$ nach dem Vertauschen.

Vertausche die ganzen Summanden: $\mathsf{13+(-8)}$ .

Die Summe ergibt $\mathsf{13+(-8)=5}$ .

So geht es am Beispiel

Vertausche in $\mathsf{\frac23\cdot\frac95}$ die Faktoren und berechne.

Der umgeordnete Term ist $\mathsf{\frac95\cdot\frac23}$ .

Kürze die Faktoren 9 und 3 durch 3 zu 3 und 1.

Multipliziere $\mathsf{\frac35\cdot\frac21=\frac65}$ .

Erklärung 04

Mit Variablen und zusammengesetzten Termen

Variablen können für beliebige rationale oder reelle Zahlen stehen. In $\mathsf{x+7}$ darfst du x und 7 vertauschen. In $\mathsf{(x+2)\cdot5}$ ist die ganze Klammer ein Faktor. Das Vertauschen der Faktoren verändert den Inhalt der Klammer nicht.

Benenne die vollständigen Summanden oder Faktoren.
Schreibe Subtraktion bei Bedarf als Addition der Gegenzahl.
Lasse Vorzeichen und Klammerinhalte am jeweiligen Termteil.

Die Rolle gilt für den vollständigen Termteil.

So geht es am Beispiel

Vertausche die Faktoren in $\mathsf{(x+2)\cdot5}$ .

Der erste Faktor ist die ganze Klammer $\mathsf{(x+2)}$ .

Der zweite Faktor ist 5.

Nach dem Vertauschen lautet der Term $\mathsf{5\cdot(x+2)}$ .

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{x-4+9}$ so um, dass die Zahlen zusammenstehen.

Schreibe die Subtraktion als Addition: $\mathsf{x+(-4)+9}$ .

Vertausche: $\mathsf{x+9+(-4)}$ .

Fasse die Zahlen zusammen: $\mathsf{9+(-4)=5}$ .

Erklärung 05

Warum Minus und Geteilt nicht allgemein vertauschbar sind

Beim Subtrahieren und Dividieren kann das Vertauschen den Wert verändern. Ein einzelner Sonderfall mit gleichen Werten begründet kein allgemeines Gesetz. Bei Divisionen müssen beide Vergleichsrechnungen definiert sein. Das Assoziativgesetz behandelt im Anschluss eine andere Frage: Welche Klammerung ist erlaubt?

Berechne beide Seiten eines behaupteten Gesetzes.
Prüfe bei Divisionen, ob ein Divisor null ist.
Nutze ein Gegenbeispiel zur Widerlegung.

Das Kommutativgesetz gilt hier für Addition und Multiplikation.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{11-4}$ und $\mathsf{4-11}$ .

Die erste Differenz ist $\mathsf{11-4=7}$ .

Die zweite Differenz ist $\mathsf{4-11=-7}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{12:3}$ und $\mathsf{3:12}$ .

Die erste Division ergibt $\mathsf{12:3=4}$ .

Die zweite Division ergibt $\mathsf{3:12=\frac14}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kommutativgesetz · 1Vertausche die Summanden in $\mathsf{16+7}$ und berechne.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umgeordneter Term
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der umgeordnete Term ist $\mathsf{7+16}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Summe ist $\mathsf{7+16=23}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umgeordneter Term $\mathsf{7+16}$
2. Wert23
02
Aufgabe 2Kommutativgesetz · 1Vertausche die Faktoren in $\mathsf{4\cdot9}$ und berechne.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umgeordneter Term
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der umgeordnete Term ist $\mathsf{9\cdot4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{9\cdot4=36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umgeordneter Term $\mathsf{9\cdot4}$
2. Wert36
03
Aufgabe 3Kommutativgesetz · 2Berechne $\mathsf{46+29+54}$ geschickt. Nenne das günstige Paar und den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Günstiges Paar
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vertausche: $\mathsf{46+54+29}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{(46+54)+29}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{46+54=100}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{100+29=129}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Günstiges Paar46 und 54
2. Wert129
04
Aufgabe 4Kommutativgesetz · 2Berechne $\mathsf{25\cdot19\cdot4}$ geschickt. Nenne das günstige Faktorenpaar und den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Günstiges Faktorenpaar
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vertausche: $\mathsf{25\cdot4\cdot19}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{(25\cdot4)\cdot19}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{25\cdot4=100}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{100\cdot19=1900}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Günstiges Faktorenpaar25 und 4
2. Wert1900
05
Aufgabe 5Kommutativgesetz · 2Vertausche die Summanden in $\mathsf{(-12)+5}$ und berechne.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umgeordneter Term
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Minus gehört zur 12: $\mathsf{5+(-12)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Summe ist $\mathsf{5+(-12)=-7}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umgeordneter Term $\mathsf{5+(-12)}$
2. Wert−7
06
Aufgabe 6Kommutativgesetz · 2Vertausche die Faktoren in $\mathsf{\frac37\cdot\frac{14}{9}}$ und berechne vollständig gekürzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umgeordneter Term
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der umgeordnete Term lautet $\mathsf{\frac{14}{9}\cdot\frac37}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze 14 und 7 durch 7 zu 2 und 1.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze 3 und 9 durch 3 zu 1 und 3.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac23\cdot\frac11=\frac23}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umgeordneter Term $\mathsf{\frac{14}{9}\cdot\frac37}$
2. Wert $\mathsf{\frac23}$
07
Aufgabe 7Kommutativgesetz · 2Vertausche die Faktoren in $\mathsf{(y-3)\cdot8}$ . Gib danach den Wert für $\mathsf{y=5}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umgeordneter Term
Wert für y gleich 5
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ganze Klammer bleibt zusammen: $\mathsf{8\cdot(y-3)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Setze ein und berechne die Klammer: $\mathsf{5-3=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{8\cdot2=16}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umgeordneter Term $\mathsf{8\cdot(y-3)}$
2. Wert für y gleich 516
08
Aufgabe 8Kommutativgesetz · 3Jemand behauptet $\mathsf{20-6=6-20}$ . Berechne beide Seiten, entscheide und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Behauptung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links ergibt $\mathsf{20-6=14}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rechts ergibt $\mathsf{6-20=-14}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Werte sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert14
2. Rechter Wert−14
3. Behauptung richtig?Nein
4. BegründungSubtraktion ist nicht allgemein vertauschbar; hier entstehen entgegengesetzte Werte.
09
Aufgabe 9Kommutativgesetz · 3Berechne $\mathsf{18:6}$ und $\mathsf{6:18}$ . Ist Division allgemein vertauschbar? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Quotient
Zweiter Quotient
Allgemein vertauschbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Rechnung ist $\mathsf{18:6=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die zweite ist $\mathsf{6:18=\frac13}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Beide Divisoren sind ungleich null, aber die Werte unterscheiden sich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Quotient3
2. Zweiter Quotient $\mathsf{\frac13}$
3. Allgemein vertauschbar?Nein
4. BegründungDieses gültige Gegenbeispiel liefert die verschiedenen Werte 3 und ein Drittel.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich vertausche ganze Summanden oder Faktoren.
Ich nehme negative Vorzeichen mit.
Ich vertausche bei Brüchen nicht Zähler und Nenner.
Ich kenne Gegenbeispiele für Subtraktion und Division.

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