Rechteck

Erklärung 01

Vier rechte Winkel

1. 1

   Prüfe alle vier Winkel.

2. 2

   Ordne die gegenüberliegenden Seiten einander zu.

$\mathsf{\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^\circ}$

Erklärung 02

Fläche und Rand

1. 1

   Verwende für beide Seiten dieselbe Längeneinheit.

2. 2

   Schreibe Flächen in Quadrateinheiten und Umfänge in Längeneinheiten.

$\mathsf{A=a\cdot b,\qquad U=2a+2b}$

Erklärung 03

Diagonalen und Spiegelachsen

1. 1

   Verbinde A mit C und B mit D.

2. 2

   Prüfe beim Spiegeln, ob Ecken und Seiten aufeinanderfallen.

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck.

Erklärung 04

Optional: Rechteck im Raum nachweisen

1. 1

   Berechne u = B − A und v = D − A. Prüfe C − D = u und C − B = v.

2. 2

   Prüfe u und v auf Länge größer null und berechne ihr Skalarprodukt.

$\mathsf{C=A+\vec u+\vec v,\qquad\vec u\cdot\vec v=0}$

1. 01
   Aufgabe 1Rechteck · basisEin Viereck hat vier rechte Winkel. Begründe, ob es ein Rechteck ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Definition verlangt vier rechte Winkel.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Diese Bedingung ist erfüllt.

   Ergebnis

   1. Begründung
      Ja, es ist ein Rechteck. Auch bei vier gleich langen Seiten bleibt es ein Rechteck.
2. 02
   Aufgabe 2Rechteck · basisIm Rechteck ABCD gilt $\mathsf{AB=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{BC=5\,\mathsf{cm}}$. Gib CD und DA an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Seite CD

   Seite DA
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang.

      $$\mathsf{CD=AB=8\,\mathsf{cm}}$$

      $$\mathsf{DA=BC=5\,\mathsf{cm}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Seite CD
      $\mathsf{CD=8\,\mathsf{cm}}$
   2. Seite DA
      $\mathsf{DA=5\,\mathsf{cm}}$
3. 03
   Aufgabe 3Rechteck · mittelBerechne Fläche und Umfang eines Rechtecks mit Seiten 7 cm und 4 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Flächeninhalt

   Umfang
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Multipliziere benachbarte Seiten für die Fläche.

      $$\mathsf{A=7\cdot4=28\,\mathsf{cm}^2}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Addiere die vier Randseiten für den Umfang.

      $$\mathsf{U=7+4+7+4=22\,\mathsf{cm}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Flächeninhalt
      $\mathsf{A=28\,\mathsf{cm}^2}$
   2. Umfang
      $\mathsf{U=22\,\mathsf{cm}}$
4. 04
   Aufgabe 4Rechteck · mittelZeichne ab A ein Rechteck: 6 Kästchen nach rechts, 3 nach oben. Beschrifte ABCD gegen den Uhrzeigersinn, markiere einen rechten Winkel und zeichne beide Diagonalen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Zeichnung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Zeichnung

   Kontrolle: Seitenlängen
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Setze B sechs Kästchen rechts von A.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Setze C drei Kästchen über B und D drei Kästchen über A.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Verbinde die Randpunkte, markiere einen rechten Winkel und verbinde A mit C sowie B mit D.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeichnung
      Beschriftete Konstruktion auf der Vorlage; siehe geschützte Musterzeichnung.
   2. Kontrolle: Seitenlängen
      AB und CD sind 6 cm, BC und DA 3 cm lang. Beide Diagonalen treffen sich im Mittelpunkt.
5. 05
   Aufgabe 5Rechteck · transferEin Rechteck hat Seiten 9 cm und 4 cm. Mara nennt die beiden Diagonalen seine Spiegelachsen. Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Wäre die Diagonale eine Spiegelachse, müssten die angrenzenden Seiten aufeinanderfallen.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Diese Seiten sind verschieden lang und passen nicht aufeinander.

   Ergebnis

   1. Begründung
      Die Spiegelachsen verlaufen durch die gegenüberliegenden Seitenmitten. Die Diagonalen sind hier keine Spiegelachsen.
6. 06
   Aufgabe 6Rechteck · transferEin Rechteck hat Fläche $\mathsf{24\,\mathsf{cm}^2}$ und eine Seite von 6 cm. Bestimme die andere Seite und den Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Andere Seite

   Umfang
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Teile die Fläche durch die bekannte Seite.

      $$\mathsf{b=24:6=4\,\mathsf{cm}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Setze beide Seiten in die Umfangsformel ein.

      $$\mathsf{U=2\cdot6+2\cdot4=20\,\mathsf{cm}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Andere Seite
      $\mathsf{b=4\,\mathsf{cm}}$
   2. Umfang
      $\mathsf{U=20\,\mathsf{cm}}$
7. 07
   Aufgabe 7Rechteck · Optionale VertiefungOptionale Vektoraufgabe. Gegeben sind A(-1,2,0), B(0,4,2), C(2,3,2) und D(1,1,0). Weise ein Rechteck in der Reihenfolge A–B–C–D nach. Prüfe Gegenkanten und Ebene, Skalarprodukt. Alle Koordinaten haben dieselbe Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegenkanten und Ebene

   Skalarprodukt und Folgerung

   Tipp anzeigen

   Voraussetzung: Vektoren und Skalarprodukt im Raum.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\vec u=B-A=(1,2,2),\qquad\vec v=D-A=(2,-1,0)}$$

      $$\mathsf{C-D=\vec u,\qquad C-B=\vec v}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Damit gilt C = A + u + v. Alle Punkte sind koplanar und ABCD ist ein Parallelogramm.

      $$\mathsf{\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot0=0}$$

      $$\mathsf{\lVert\vec u\rVert^2=9,\qquad\lVert\vec v\rVert^2=5}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Kanten sind nicht null und orthogonal; daher liegen vier rechte Winkel vor. Also ist ABCD ein Rechteck.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Gegenkanten und Ebene
      C−D=u und C−B=v; C=A+u+v; koplanares Parallelogramm
   2. Skalarprodukt und Folgerung
      Skalarprodukt0 bei nicht verschwindenden Kanten; Rechteck