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Dreiecke · Erklären & üben

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechter Winkel macht zwei Seiten zu Katheten. Die gegenüberliegende Hypotenuse ist die längste Seite. Diese Zuordnung entscheidet über die Rechnung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Katheten und Hypotenuse

Die Katheten schließen den rechten Winkel ein. Die Hypotenuse liegt ihm gegenüber. Sie heißt nur dann c, wenn der rechte Winkel bei C liegt; die Lage in der Zeichnung ist unerheblich.

  1. Markiere den rechten Winkel.

  2. Suche die Seite gegenüber.

Die Hypotenuse liegt niemals am rechten Winkel an.

Maßhaltiges 3-4-5-Dreieck, rechter Winkel bei A; Rollen explizit.

Erklärung 02

Fehlende Seiten berechnen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse, addieren sich die Kathetenquadrate zum Hypotenusenquadrat.

  1. Für die Hypotenuse addiere die Quadrate.

  2. Für eine Kathete subtrahiere das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat.

  3. Ziehe erst danach die Quadratwurzel.

a2+b2=c2\mathsf{a^2+b^2=c^2}

Quadrate mit Seiten 3,4,5 im gemeinsamen Maßstab; Flächen9+16=25.

So geht es am Beispiel

Die Katheten sind 7 cm und 24 cm lang. Berechne die Hypotenuse.

c2=72+242=49+576=625\mathsf{c^2=7^2+24^2=49+576=625}
c=625=25 cm\mathsf{c=\sqrt{625}=25\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Die Hypotenuse ist 25 cm lang.

Erklärung 03

Fläche und Umfang

Die Katheten sind senkrecht zueinander und können direkt als Grundseite und Höhe verwendet werden. Der Umfang benötigt zusätzlich die Hypotenuse.

  1. Multipliziere die Katheten und halbiere.

  2. Addiere für den Umfang alle drei Seiten.

A=a⋅b2,u=a+b+c\mathsf{A=\frac{a\cdot b}{2},\qquad u=a+b+c}

So geht es am Beispiel

Die Katheten betragen 5 cm und 12 cm. Berechne Fläche und Umfang.

c=25+144=13 cm\mathsf{c=\sqrt{25+144}=13\,\mathsf{cm}}
A=5⋅122=30 cm2\mathsf{A=\frac{5\cdot12}{2}=30\,\mathsf{cm}^2}
u=5+12+13=30 cm\mathsf{u=5+12+13=30\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Fläche 30 Quadratzentimeter; Umfang 30 cm.

Erklärung 04

Die Voraussetzung prüfen

Bei drei gegebenen Seiten prüfst du zuerst die Dreiecksungleichung. Anschließend vergleiche das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der beiden anderen Quadrate. Gleichheit beweist einen rechten Winkel. Das Thema Gleichschenkliges Dreieck zeigt den Spezialfall mit zwei gleichen Katheten.

  1. Ordne die Seiten nach Länge.

  2. Verwende nur die längste als mögliche Hypotenuse.

Eine beliebige schräge Seite ist nicht automatisch eine Hypotenuse.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Rechtwinkliges Dreieck · AnwendenEin Dreieck ABC hat den rechten Winkel bei B. Welche Seite ist die Hypotenuse?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Hypotenuse liegt gegenüber B und verbindet A mit C.

    Ergebnis

    1. HypotenuseAC, also Seite b.
  2. Aufgabe 2Rechtwinkliges Dreieck · AnwendenDie Katheten sind 8 cm und 15 cm lang. Berechne die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      c2=82+152=64+225=289\mathsf{c^2=8^2+15^2=64+225=289}
      c=289=17 cm\mathsf{c=\sqrt{289}=17\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Hypotenuse17 cm\mathsf{17\,\mathsf{cm}}
  3. Aufgabe 3Rechtwinkliges Dreieck · AnwendenDie Hypotenuse ist 13 cm, eine Kathete 5 cm lang. Berechne die andere Kathete.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b2=132−52=169−25=144\mathsf{b^2=13^2-5^2=169-25=144}
      b=144=12 cm\mathsf{b=\sqrt{144}=12\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Fehlende Kathete12 cm\mathsf{12\,\mathsf{cm}}
  4. Aufgabe 4Rechtwinkliges Dreieck · AnwendenDie Katheten sind 9 und 12 cm lang. Berechne Hypotenuse, Umfang und Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      c=92+122=15 cm\mathsf{c=\sqrt{9^2+12^2}=15\,\mathsf{cm}}
      u=9+12+15=36 cm\mathsf{u=9+12+15=36\,\mathsf{cm}}
      A=9⋅122=54 cm2\mathsf{A=\frac{9\cdot12}{2}=54\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Hypotenuse15 cm\mathsf{15\,\mathsf{cm}}
    2. Umfang36 cm\mathsf{36\,\mathsf{cm}}
    3. Fläche54 cm2\mathsf{54\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Rechtwinkliges Dreieck · AnwendenZeichne A(0|0), B(6|0), C(0|4). Markiere den rechten Winkel und benenne die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Dreieck mit Winkelmarkierung

    Leere Gittervorlage für das rechtwinklige Dreieck.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      AB ist waagerecht, AC senkrecht: der rechte Winkel liegt bei A.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Verbinde B mit C als Hypotenuse.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Dreieck mit WinkelmarkierungRechter Winkel bei A; Dreieck wie im Muster.
    2. HypotenuseBC, also Seite a.
  6. Aufgabe 6Rechtwinkliges Dreieck · AnwendenIst ein Dreieck mit Seiten 6, 8 und 11 cm rechtwinklig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      6+8>11\mathsf{6+8>11}
      62+82=100≠121=112\mathsf{6^2+8^2=100\ne121=11^2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Das Dreieck existiert, ist aber nicht rechtwinklig.

    Ergebnis

    1. Begründetes UrteilNein; die Quadratsumme stimmt nicht mit dem längsten Seitenquadrat überein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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