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Regression und Zusammenhänge · Erklären & üben

Regression

Regression beschreibt, wie sich eine Zielgröße anhand einer anderen Größe modellieren lässt. Eine berechnete Vorhersage bleibt von der tatsächlich beobachteten Ausprägung zu unterscheiden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Datenpaare und ein Modell

Jedes Datenpaar verbindet einen erklärenden Wert x mit einer beobachteten Zielgröße y. Wir betrachten quantitative Größen und eine Gerade. Ihr Achsenabschnitt a gibt den Modellwert bei x = 0 an; die Steigung b beschreibt die Änderung des Modellwerts je zusätzlicher x-Einheit. Eine Regressionsgerade muss nicht durch alle Punkte gehen. x und y zu vertauschen führt im Allgemeinen zu einer anderen Anpassungsaufgabe.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

y^=a+bx\mathsf{\widehat y=a+bx}

Eigene Beobachtungen und Kandidat 1 + x.

Erklärung 02

Eine Gerade an Beobachtungen anpassen

Das Residuum ist die vertikale Differenz zwischen Beobachtung und Modellwert. Bei der Methode der kleinsten Quadrate wird die Summe der quadrierten Residuen minimiert. Die Quadrate verhindern, dass positive und negative Abweichungen sich gegenseitig aufheben. Unser Vergleich zweier Geraden zeigt das Kriterium; er bestimmt noch nicht das globale Minimum. Die vollständige Handrechnung folgt im Thema Lineare Regression.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

ei=yi−y^i,Q=∑iei2\mathsf{e_i=y_i-\widehat y_i,\qquad Q=\sum_i e_i^2}

Dieselben Beobachtungen mit Vergleichskandidat 2 + x.

So geht es am Beispiel

Für das Modell y^=1+x\mathsf{\widehat y=1+x} gilt x = 2. Beobachtet wurde y = 4.

y^=1+2=3\mathsf{\widehat y=1+2=3}
e=4−3=1\mathsf{e=4-3=1}

Ergebnis

Vorhersage 3 und Beobachtung 4 unterscheiden sich um 1.

So geht es am Beispiel

Vergleiche für die Punkte (0|1), (1|2), (2|4) die Modelle 1 + x und 2 + x.

Das erste Modell hat Residuen 0, 0, 1; das zweite −1, −1, 0.

Q1=02+02+12=1\mathsf{Q_1=0^2+0^2+1^2=1}
Q2=(−1)2+(−1)2+02=2\mathsf{Q_2=(-1)^2+(-1)^2+0^2=2}

Ergebnis

Von diesen beiden Kandidaten passt 1 + x nach dem Quadrat-Kriterium besser.

Erklärung 03

Vorhersagen haben Grenzen

Eine Vorhersage innerhalb des beobachteten x-Bereichs ist eine Interpolation. Außerhalb liegt eine Extrapolation vor; dort kann sich der Zusammenhang ändern. Kleine Residuen in den verwendeten Daten garantieren keine guten zukünftigen Vorhersagen. Dazu sind neue, nicht zum Anpassen verwendete Daten hilfreich. Auch eine genaue Anpassung beseitigt keine Messfehler oder verzerrte Auswahl.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

Anpassung an vorhandene Daten≠garantierte Prognosegu¨te\mathsf{\textsf{Anpassung an vorhandene Daten}\ne\textsf{garantierte Prognosegüte}}

Erklärung 04

Zusammenhang ist noch keine Ursache

Korrelation beschreibt gemeinsames Variieren. Kausalität meint eine ursächliche Wirkung. Eine Regression allein kann beide nicht unterscheiden: Eine dritte Größe kann x und y beeinflussen, die Richtung kann andersherum verlaufen oder das Muster kann zufällig entstehen. Randomisierte Zuteilung und geeignete Kontrollbedingungen können unter weiteren Voraussetzungen eine kausale Untersuchung ermöglichen. Beobachtungsdaten erfordern zusätzliche Annahmen und Fachwissen. Die konkrete Pearson-Rechnung steht im Thema Lineare Regression; ein vollständiger Kurs zur Kausalinferenz ist hier nicht enthalten.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

statistischer Zusammenhang⇏Ursache\mathsf{\textsf{statistischer Zusammenhang}\not\Rightarrow\textsf{Ursache}}

So geht es am Beispiel

An warmen Tagen werden mehr Eisportionen verkauft und mehr Badegäste gezählt. Verursacht Eisverkauf die Badebesuche?

Die Temperatur kann beide Größen erhöhen. Aus der gemeinsamen Zunahme folgt keine Wirkung des Eisverkaufs auf die Badebesuche.

Ergebnis

Temperatur ist eine mögliche gemeinsame Einflussgröße.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Regression · EinstiegMit Übungszeit soll ein Testergebnis modelliert werden. Ordne erklärende Größe x und Zielgröße y zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die gewählte Vorhersagerichtung führt von Übungszeit zum Ergebnis.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. xÜbungszeit.
    2. yTestergebnis.
  2. Aufgabe 2Regression · EinstiegBerechne für y^=1+x\mathsf{\widehat y=1+x} die Vorhersage bei x = 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y^=1+3=4\mathsf{\widehat y=1+3=4}

    Ergebnis

    1. Vorhersage4\mathsf{4}
  3. Aufgabe 3Regression · StandardBeobachtet wurde y = 5, vorhergesagt wurde 4. Berechne das Residuum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      e=5−4=1\mathsf{e=5-4=1}

    Ergebnis

    1. Residuum1\mathsf{1}
  4. Aufgabe 4Regression · StandardKandidat A besitzt Residuen 0, 0, 1; Kandidat B besitzt −1, −1, 0. Berechne beide Quadratsummen und wähle den besseren der beiden Kandidaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      QA=0+0+1=1\mathsf{Q_A=0+0+1=1}
      QB=1+1+0=2\mathsf{Q_B=1+1+0=2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die kleinere Quadratsumme spricht im Vergleich für A.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Quadratsumme A1\mathsf{1}
    2. Quadratsumme B2\mathsf{2}
    3. AuswahlKandidat A.
  5. Aufgabe 5Regression · TransferZeichne die Modellgerade y^=1+x\mathsf{\widehat y=1+x} in die vorbereitete Punktdarstellung. Die Beobachtungen bleiben erhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Modellgerade

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Nutze etwa die Geradenpunkte (0|1) und (4|5). Die Beobachtung (2|4) liegt oberhalb der Geraden.

    Ergebnis

    1. ModellgeradeGerade durch (0|1) und (4|5); Beobachtungen unverändert.
  6. Aufgabe 6Regression · TransferEine Regression zeigt: Bei höherem Eisabsatz gibt es mehr Badegäste. Nenne eine mögliche gemeinsame Ursache und erläutere die Schlussgrenze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Wärmere Tage können Eisabsatz und Badebesuche gleichzeitig erhöhen. Der beobachtete Zusammenhang beweist daher keine Wirkung des Eisabsatzes.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Gemeinsame EinflussgrößeZum Beispiel Temperatur.
    2. SchlussgrenzeKeine kausale Wirkung allein aus der Regression ableitbar.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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