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Regression und Zusammenhänge · Erklären & üben

Regressionsanalyse

Eine Regressionsanalyse verbindet Fragestellung, Daten, Modellrechnung und kritische Deutung. Hier liegt der Schwerpunkt auf diesem Ablauf und der Kontrolle eines bereits angepassten Modells.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Von der Frage zu geeigneten Daten

Lege fest, welche Zielgröße aus welcher erklärenden Größe geschätzt werden soll. Erfasse zusammengehörige Datenpaare samt Einheiten und betrachte zuerst das Streudiagramm. Eine Gerade ist plausibel, wenn das Muster ungefähr geradlinig verläuft; Ausreißer und Gruppen dürfen nicht stillschweigend ignoriert werden. Für reine deskriptive Anpassung ist keine Normalverteilung nötig. Aussagen über eine Population erfordern zusätzlich ein geeignetes Auswahl- und Fehlermodell.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

Frage→Daten→Modell→Kontrolle\mathsf{\textsf{Frage}\to\textsf{Daten}\to\textsf{Modell}\to\textsf{Kontrolle}}

Erklärung 02

Ein vorgegebenes angepasstes Modell verwenden

Eigene synthetische Datenpaare aus Übungszeit in Stunden und Ergebnis in Punkten lauten (0|1), (1|2), (2|2), (3|5). Die nach kleinsten Quadraten angepasste Gerade ist unten angegeben. Ihre Steigung beschreibt einen modellierten Zuwachs um 1,2 Punkte je zusätzlicher Stunde, keine nachgewiesene Wirkung. Der Abschnitt 0,7 ist der Modellwert bei 0 Stunden. Weitere Deutung der Einheiten behandelt Regressionskoeffizienten.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

y^=0,7+1,2x\mathsf{\widehat y=0{,}7+1{,}2x}

Eigene Daten und angepasste Gerade mit Achseneinheiten.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Modellwert für 1,5 Stunden.

y^=0,7+1,2⋅1,5=2,5\mathsf{\widehat y=0{,}7+1{,}2\cdot1{,}5=2{,}5}

Ergebnis

Die Vorhersage beträgt 2,5 Punkte.

Erklärung 03

Residuen kontrollieren

Ziehe jeweils den vorhergesagten vom beobachteten Wert ab. Positive Residuen liegen oberhalb, negative unterhalb der Geraden. Die Quadratsumme fasst ihre Größen zusammen. Ein Residuenplot gegen x kann systematische Krümmung oder veränderte Streuung sichtbar machen. Ein Muster ist ein Anlass, das Modell zu überdenken; das Fehlen eines sichtbaren Musters beweist keine Modellannahme.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

ei=yi−y^i\mathsf{e_i=y_i-\widehat y_i}

Vorhersagen und Residuen zu jedem Datenpaar.

So geht es am Beispiel

Berechne Residuen und Quadratsumme zum gegebenen Modell.

Die Vorhersagen sind 0,7; 1,9; 3,1; 4,3. Daraus folgen Residuen 0,3; 0,1; −1,1; 0,7.

Q=0,09+0,01+1,21+0,49=1,8\mathsf{Q=0{,}09+0{,}01+1{,}21+0{,}49=1{,}8}

Ergebnis

Die Quadratsumme beträgt 1,8 Quadratpunkte.

Erklärung 04

Reichweite und Modellart benennen

Unsere einfache lineare Regression nutzt eine erklärende Größe. Multiple lineare Regression nutzt mehrere; nichtlineare Modelle können andere Funktionsformen verwenden. Diese weiterführenden Verfahren werden hier nur eingeordnet. Der Datenbereich umfasst 0 bis 3 Stunden. Vorhersagen weit außerhalb sind ungesicherte Extrapolationen. Ein Zusammenhang kann durch Vorwissen, Auswahl oder andere Größen entstehen; eine Regression allein zeigt keine Kausalität. Auch kleine Residuen beweisen keine zuverlässige Vorhersage für neue Personen.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

Datenbereich: 0≤x≤3\mathsf{\textsf{Datenbereich: }0\le x\le3}

So geht es am Beispiel

Das Modell liefert bei 8 Stunden rechnerisch 10,3 Punkte. Ist dies durch die Daten abgesichert?

0,7+1,2⋅8=10,3\mathsf{0{,}7+1{,}2\cdot8=10{,}3}

8 liegt außerhalb des beobachteten Bereichs. Die arithmetisch richtige Einsetzung rechtfertigt keine inhaltlich verlässliche Prognose.

Ergebnis

Die Zahl ist eine ungesicherte Extrapolation.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Regressionsanalyse · EinstiegFormuliere zur gegebenen Datensituation eine Vorhersagefrage ohne Kausalbehauptung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Frage nach einer modellierten Zuordnung genügt; eine Wirkung muss gesondert untersucht werden.

    Ergebnis

    1. FrageWelches Ergebnis sagt das Modell für eine bestimmte Übungszeit vorher?
  2. Aufgabe 2Regressionsanalyse · EinstiegBerechne bei x = 2 Stunden den Wert des Modells y^=0,7+1,2x\mathsf{\widehat y=0{,}7+1{,}2x}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y^=0,7+2,4=3,1\mathsf{\widehat y=0{,}7+2{,}4=3{,}1}

    Ergebnis

    1. Vorhergesagte Punkte3,1\mathsf{3{,}1}
  3. Aufgabe 3Regressionsanalyse · StandardBei x = 2 wurde y = 2 beobachtet. Das Modell sagt 3,1 vorher. Berechne und deute das Residuum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      e=2−3,1=−1,1\mathsf{e=2-3{,}1=-1{,}1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Beobachtung liegt um 1,1 Punkte unter dem Modellwert.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Residuum−1,1\mathsf{-1{,}1}
    2. DeutungBeobachtung liegt unter der Geraden.
  4. Aufgabe 4Regressionsanalyse · StandardBerechne die Quadratsumme aus 0,3; 0,1; −1,1; 0,7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Q=0,32+0,12+(−1,1)2+0,72=1,8\mathsf{Q=0{,}3^2+0{,}1^2+(-1{,}1)^2+0{,}7^2=1{,}8}

    Ergebnis

    1. Quadratsumme1,8\mathsf{1{,}8}
  5. Aufgabe 5Regressionsanalyse · TransferMarkiere in der gegebenen Punktdarstellung die vertikalen Strecken zwischen jedem Datenpunkt und der vorgegebenen Geraden. Verändere Datenpunkte und Gerade nicht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Residuenstrecken

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Strecken bleiben jeweils bei demselben x-Wert. Sie verbinden 1 mit 0,7; 2 mit 1,9; 2 mit 3,1; 5 mit 4,3.

    Ergebnis

    1. ResiduenstreckenVier vertikale Strecken zwischen Beobachtung und Modellwert.
  6. Aufgabe 6Regressionsanalyse · TransferDie Gerade wurde aus 0 bis 3 Stunden geschätzt. Jemand behauptet, 8 Stunden verursachten genau 10,3 Punkte. Benenne zwei Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Erstens liegt 8 außerhalb der Datenreichweite. Zweitens beweist die Regression keine kausale Wirkung und auch keinen exakten Individualwert.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ReichweiteUngesicherte Extrapolation.
    2. InterpretationKeine Kausalität und kein exaktes individuelles Ergebnis bewiesen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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