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Regression und Zusammenhänge · Erklären & üben

Regressionskoeffizient

Regressionskoeffizienten geben einer Geradengleichung ihre Bedeutung. Entscheidend sind Vorzeichen, Einheiten und die Frage, ob Originalwerte oder standardisierte Werte verwendet werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Steigung und Achsenabschnitt lesen

Im einfachen Modell ist a der Achsenabschnitt und b die Steigung. Ein zusätzlicher x-Einheit entspricht eine Änderung der Vorhersage um b y-Einheiten. Ein negatives b beschreibt eine Abnahme. Der Abschnitt ist nur sachlich sinnvoll interpretierbar, wenn x = 0 im betrachteten Kontext sinnvoll ist. Die Koeffizienten beschreiben ein Modell, nicht automatisch eine Ursache.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

y^=a+bx\mathsf{\widehat y=a+bx}

Fallende Modellgerade mit Einheiten und sinnvoll begrenztem Bereich.

So geht es am Beispiel

Ein Modell für einen Füllstand in Litern nach x Stunden lautet y^=8−2x\mathsf{\widehat y=8-2x}. Deute die Koeffizienten.

Der Modellwert zu Beginn beträgt 8 Liter. Je weiterer Stunde sinkt der vorhergesagte Füllstand um 2 Liter; die Steigung hat die Einheit Liter pro Stunde.

Ergebnis

Achsenabschnitt 8 Liter; Steigung −2 Liter pro Stunde.

Erklärung 02

Einheitenfreie Gewichte

Werden beide Größen um ihren Mittelwert zentriert und durch ihre jeweilige positive Standardabweichung geteilt, erhält man standardisierte Werte. Für die einfache Regression mit Achsenabschnitt rechnet man die Steigung mit dem Verhältnis der Streuungen um. Beide Standardabweichungen müssen dieselbe Nennerkonvention verwenden. Ein standardisiertes Gewicht beschreibt die Änderung in Standardabweichungen, nicht in Litern oder Stunden. Bei einfacher OLS-Regression entspricht es Pearson r; diese Aussage wird nicht auf multiple Regression übertragen.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

β=bsxsy,b=βsysx\mathsf{\beta=b\frac{s_x}{s_y},\qquad b=\beta\frac{s_y}{s_x}}

Umrechnung der Steigung in ein standardisiertes Gewicht.

So geht es am Beispiel

Eine angepasste einfache Regression hat b = −2, die Standardabweichungen sind 2 Stunden und 5 Liter. Standardisiere.

β=−2⋅25=−0,8\mathsf{\beta=-2\cdot\frac25=-0{,}8}

Eine um eine Standardabweichung größere x-Ausprägung entspricht im Modell einer um 0,8 Standardabweichungen kleineren Zielgröße.

Ergebnis

Das standardisierte Gewicht beträgt −0,8.

Erklärung 03

Koeffizienten aus Daten bestimmen

Bei mindestens zwei verschiedenen x-Werten lässt sich die einfache OLS-Steigung aus zentrierten Produkten und Quadraten bestimmen. Der Achsenabschnitt ergibt sich anschließend aus den Mittelwerten. Die Gerade läuft dadurch durch den Schwerpunkt der Daten. Die ausführliche Tabelle und Pearson-Rechnung stehen im Thema Lineare Regression.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

b=∑i(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i(xi−xˉ)2,a=yˉ−bxˉ\mathsf{b=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i(x_i-\bar x)^2},\qquad a=\bar y-b\bar x}

So geht es am Beispiel

Gegeben sind (0|7), (1|5), (2|3). Berechne b und a.

xˉ=1,yˉ=5\mathsf{\bar x=1,\qquad\bar y=5}
Sxx=1+0+1=2,Sxy=−2+0−2=−4\mathsf{S_{xx}=1+0+1=2,\qquad S_{xy}=-2+0-2=-4}
b=−4/2=−2,a=5−(−2)⋅1=7\mathsf{b=-4/2=-2,\qquad a=5-(-2)\cdot1=7}

Ergebnis

Die Gerade lautet 7 − 2x.

Erklärung 04

Einheitenwechsel und Vergleiche

Unstandardisierte Gewichte ändern ihren Zahlenwert bei einem Einheitenwechsel. Wird Zeit statt in Stunden in Minuten gemessen, verteilt sich dieselbe Änderung auf 60 x-Einheiten. Standardisierung entfernt solche positiven Skalierungsfaktoren, liefert aber keinen Kausalitätsbeweis. Größen verschiedener Modelle allein nach ihren Gewichten zu vergleichen, kann irreführen. Mehrere Einflussgrößen und ihre gemeinsame Schätzung bleiben ein weiterführender Anschluss an Regressionsanalyse.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

bpro Minute=bpro Stunde/60\mathsf{b_{\mathsf{pro\ Minute}}=b_{\mathsf{pro\ Stunde}}/60}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Regressionskoeffizient · EinstiegDas Modell y^=8−2x\mathsf{\widehat y=8-2x} verwendet Stunden und Liter. Nenne Steigung und Achsenabschnitt samt Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Faktor vor x ist −2; der konstante Term ist 8.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Steigung−2 Liter pro Stunde.
    2. Achsenabschnitt8 Liter.
  2. Aufgabe 2Regressionskoeffizient · EinstiegBerechne den vorhergesagten Füllstand nach 2 Stunden mit demselben Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y^=8−2⋅2=4\mathsf{\widehat y=8-2\cdot2=4}

    Ergebnis

    1. Füllstand in Litern4\mathsf{4}
  3. Aufgabe 3Regressionskoeffizient · StandardEine einfache angepasste Regression hat b = −2, sx = 2 und sy = 5. Berechne das standardisierte Gewicht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      β=−2⋅2/5=−0,8\mathsf{\beta=-2\cdot2/5=-0{,}8}

    Ergebnis

    1. Standardisiertes Gewicht−0,8\mathsf{-0{,}8}
  4. Aufgabe 4Regressionskoeffizient · StandardGegeben sind standardisiertes Gewicht 0,6, sx = 3 und sy = 10. Berechne die unstandardisierte Steigung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=0,6⋅10/3=2\mathsf{b=0{,}6\cdot10/3=2}

    Ergebnis

    1. Unstandardisierte Steigung2\mathsf{2}
  5. Aufgabe 5Regressionskoeffizient · TransferZeichne y^=8−2x\mathsf{\widehat y=8-2x} für 0 bis 4 Stunden in die vorbereiteten Achsen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Gerade

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Gerade verbindet (0|8) mit (4|0) und verläuft durch (2|4). Eine negative Fortsetzung außerhalb des Bereichs wäre als Füllstand nicht sinnvoll.

    Ergebnis

    1. GeradeGerade von (0|8) nach (4|0).
  6. Aufgabe 6Regressionskoeffizient · TransferDie Steigung beträgt −2 Liter pro Stunde. Drücke sie in Litern pro Minute aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=−2/60=−1/30≈−0,0333\mathsf{b=-2/60=-1/30\approx-0{,}0333}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Dieselbe Änderung verteilt sich auf 60 Minuten je Stunde.

    Ergebnis

    1. Liter pro Minute−130\mathsf{-\frac1{30}}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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