Krümmung und Wendepunkte · Erklären & üben

Sattelpunkte berechnen

Ein Sattelpunkt ist ein stationärer Wendepunkt: Der Graph wechselt dort seine Krümmungsrichtung und besitzt zugleich eine waagerechte Tangente. Beides muss nachgewiesen werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Eigenschaften müssen zusammenkommen

Ein Wendepunkt verlangt einen Krümmungswechsel. Stationär bedeutet hier $\mathsf{f^{\prime}(x_S)=0}$ . Erst zusammen ergeben diese Eigenschaften einen Sattelpunkt.

Für die betrachteten glatten Funktionen sind $\mathsf{f^{\prime}(x_S)=0}$ und $\mathsf{f^{\prime\prime}(x_S)=0}$ notwendige Kandidatenbedingungen. Sie sind allein kein vollständiger Nachweis.

Der Punkt lautet $\mathsf{S(x_S\mid f(x_S))}$ . Seine Tangente ist die horizontale Gerade $\mathsf{y=f(x_S)}$ .

Erklärung 02

x³: Ein Sattelpunkt

Beim Graphen von $\mathsf{f(x)=x^3}$ steigt f links und rechts von 0. Trotzdem wird die Tangente bei 0 waagerecht. Es liegt dort kein Hoch- oder Tiefpunkt vor.

Kubischer Graph mit Sattelpunkt im Ursprung und waagerechter Tangente.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=x^3}$ bei 0.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — stationäre Stelle.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — zweite Ableitung.

Links von 0 ist $\mathsf{6x<0}$ , rechts von 0 ist $\mathsf{6x>0}$ . Die Krümmung wechselt.

$\mathsf{f(0)=0}$ — y-Koordinate.

Erklärung 03

x⁴: Dieselben Nullwerte, aber kein Sattelpunkt

Eine Kandidatenbedingung darf nicht mit dem Ergebnis verwechselt werden. Bei $\mathsf{g(x)=x^4}$ verschwinden an 0 ebenfalls die erste und zweite Ableitung. Der Krümmungswechsel fehlt aber.

Graph von x hoch 4 mit Tiefpunkt im Ursprung; die waagerechte Tangente allein begründet keinen Sattelpunkt.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{g(x)=x^4}$ bei 0.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=4x^3}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{g^{\prime}(0)=0}$ — stationär.

$\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{g^{\prime\prime}(0)=0}$ — Kandidatenbedingung erfüllt.

Für x < 0 und x > 0 ist $\mathsf{12x^2>0}$ . Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.

Erklärung 04

Die dritte Ableitung als kurzer Nachweis

Bei einer dreimal stetig differenzierbaren Funktion ist $\mathsf{f^{\prime\prime}(x_S)=0}$ zusammen mit $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(x_S)\ne0}$ hinreichend für einen Wendepunkt. Für einen Sattelpunkt muss zusätzlich $\mathsf{f^{\prime}(x_S)=0}$ gelten.

Die Bedingung an die dritte Ableitung ist nicht notwendig. Falls sie 0 ergibt, darfst du den Kandidaten nicht verwerfen. Untersuche dann zum Beispiel den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Graph von x hoch 5 mit Sattelpunkt im Ursprung und waagerechter Tangente; der Krümmungswechsel ist sichtbar.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{h(x)=x^5}$ bei 0.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=5x^4}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{h^{\prime}(0)=0}$ — stationär.

$\mathsf{h^{\prime\prime}(x)=20x^3}$ — zweite Ableitung.

Links von 0 ist $\mathsf{20x^3<0}$ , rechts davon positiv: Krümmungswechsel.

$\mathsf{h^{\prime\prime\prime}(x)=60x^2}$ — dritte Ableitung.

$\mathsf{h^{\prime\prime\prime}(0)=0}$ — der kurze Test entscheidet hier nicht.

$\mathsf{h(0)=0}$ — Höhe.

Erklärung 05

Ein Sattelpunkt außerhalb des Ursprungs

Berechne die Koordinaten auch bei verschobenen Funktionen vollständig. Eine waagerechte Tangente bedeutet nicht automatisch, dass der Punkt auf der x-Achse liegt.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Sattelpunkt von $\mathsf{p(x)=(x-2)^3+1}$ .

$\mathsf{p^{\prime}(x)=3(x-2)^2}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{p^{\prime\prime}(x)=6(x-2)}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{x_S=2}$ — gemeinsame Nullstelle.

$\mathsf{p^{\prime}(2)=0}$ — Stationarität.

$\mathsf{p^{\prime\prime\prime}(2)=6\ne0}$ — Wendepunkt nachgewiesen.

$\mathsf{y_S=p(2)=1}$ — Höhe.

Erklärung 06

Wendepunkt, Sattelpunkt oder Extrempunkt?

Bei $\mathsf{f(x)=x^3+x}$ wechselt die Krümmung bei 0, aber $\mathsf{f^{\prime}(0)=1}$ . Der Punkt ist ein Wendepunkt mit schräger Tangente und kein Sattelpunkt.

Bei den hier betrachteten glatten Beispielen wechselt die erste Ableitung am Sattelpunkt nicht das Vorzeichen. Die Funktion bleibt auf beiden Seiten steigend oder auf beiden Seiten fallend. Die zweite Ableitung wechselt dagegen ihr Vorzeichen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Sattelpunkte berechnen · EinstiegBestimme den Sattelpunkt von $\mathsf{f(x)=2x^3+3}$ und seine Tangente.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sattelpunkt
Tangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_S=0}$ — gemeinsamer Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=12\ne0}$ — Krümmungswechsel nachgewiesen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_S=f(0)=3}$ — Höhe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sattelpunkt $\mathsf{S(0\mid3)}$
2. Tangente $\mathsf{y=3}$
02
Aufgabe 2Sattelpunkte berechnen · EinstiegUntersuche $\mathsf{f(x)=x^4+2}$ bei 0 auf einen Sattelpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Ableitungen verschwinden bei 0. Die zweite Ableitung ist auf beiden Seiten positiv.
Ergebnis
1. Urteil mit BegründungKein Sattelpunkt: Es fehlt der Krümmungswechsel. Bei (0 | 2) liegt ein Tiefpunkt.
03
Aufgabe 3Sattelpunkte berechnen · StandardBestimme den Sattelpunkt von $\mathsf{g(x)=(x+1)^3-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sattelpunkt mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=3(x+1)^2}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=6(x+1)}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_S=-1}$ — gemeinsame Nullstelle.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime\prime}(-1)=6\ne0}$ — Wendepunktnachweis.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_S=g(-1)=-2}$ — Höhe.
Ergebnis
1. Sattelpunkt mit Rechnung $\mathsf{S(-1\mid-2)}$
04
Aufgabe 4Sattelpunkte berechnen · StandardPrüfe, ob der Wendepunkt von $\mathsf{f(x)=x^3+2x}$ bei 0 ein Sattelpunkt ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+2}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=2\ne0}$ — keine waagerechte Tangente.
Ergebnis
1. UrteilKein Sattelpunkt. Der Wendepunkt (0 | 0) besitzt Steigung 2.
05
Aufgabe 5Sattelpunkte berechnen · StandardPrüfe $\mathsf{h(x)=-x^5+1}$ bei 0. Begründe ohne den kurzen Test mit der dritten Ableitung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil und Punkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}(x)=-5x^4}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}(0)=0}$ — stationär.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime\prime}(x)=-20x^3}$ — zweite Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Links von 0 ist die zweite Ableitung positiv, rechts negativ.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(0)=1}$ — Höhe.
Ergebnis
1. Urteil und Punkt $\mathsf{S(0\mid1)}$ ist ein Sattelpunkt; Krümmungswechsel bei waagerechter Tangente.
06
Aufgabe 6Sattelpunkte berechnen · StandardEine Schülerin findet $\mathsf{f^{\prime}(a)=f^{\prime\prime}(a)=0}$ und erklärt die Untersuchung für abgeschlossen. Was fehlt? Nenne ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlender Schritt und Gegenbeispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Es fehlt ein Nachweis, dass die Krümmung wechselt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei $\mathsf{f(x)=x^4}$ und a = 0 sind beide Gleichungen erfüllt, aber $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ wechselt das Vorzeichen nicht.
Ergebnis
1. Fehlender Schritt und GegenbeispielKrümmungswechsel prüfen; x⁴ bei 0 ist ein Gegenbeispiel.
07
Aufgabe 7Sattelpunkte berechnen · StandardEine Person behauptet: „Wenn die dritte Ableitung an einem Kandidaten 0 ist, gibt es keinen Sattelpunkt.“ Widerlege das mit $\mathsf{f(x)=x^5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Widerlegung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — stationär.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=20x^3}$ — Vorzeichenwechsel an 0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=0}$ — dennoch dritte Ableitung 0.
Ergebnis
1. Widerlegungx⁵ hat bei (0 | 0) einen Sattelpunkt. Die dritte Ableitung ungleich 0 ist hinreichend, nicht notwendig.
08
Aufgabe 8Sattelpunkte berechnen · VertiefungBestimme a und b so, dass $\mathsf{f(x)=x^3+ax+b}$ einen Sattelpunkt bei $\mathsf{(0\mid4)}$ hat.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+a}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=a}$ — Stationarität bei 0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=0}$ — Steigung muss 0 sein.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=b=4}$ — Höhe nutzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=6\ne0}$ — der Krümmungswechsel ist gesichert.
Ergebnis
1. Parameter mit Begründung $\mathsf{a=0,\quad b=4}$
09
Aufgabe 9Sattelpunkte berechnen · VertiefungOrdne die Stellen x = 0 zu: a) $\mathsf{x^3}$ , b) $\mathsf{x^4}$ , c) $\mathsf{x^3+x}$ . Gib jeweils den Punkt und die passende Einordnung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Punkt und Art
b) Punkt und Art
c) Punkt und Art
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x³: erste Ableitung 0, zweite Ableitung 6x mit Vorzeichenwechsel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x⁴: erste Ableitung 0, zweite Ableitung 12x² ohne Vorzeichenwechsel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x³ + x: zweite Ableitung 6x wechselt das Vorzeichen, erste Ableitung ist bei 0 gleich 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Punkt und Art(0 | 0), Sattelpunkt.
2. b) Punkt und Art(0 | 0), Tiefpunkt; kein Wendepunkt.
3. c) Punkt und Art(0 | 0), Wendepunkt; kein Sattelpunkt.
10
Aufgabe 10Sattelpunkte berechnen · VertiefungFür $\mathsf{p(x)=(x-1)^5-3}$ sind Punkt und Tangente am Sattelpunkt gesucht. Begründe den Krümmungswechsel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sattelpunkt
Tangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime}(x)=5(x-1)^4}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime}(1)=0}$ — stationär.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime\prime}(x)=20(x-1)^3}$ — zweite Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Links von 1 ist die zweite Ableitung negativ, rechts positiv.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(1)=-3}$ — Höhe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sattelpunkt $\mathsf{S(1\mid-3)}$
2. Tangente $\mathsf{y=-3}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Stationarität und Krümmungswechsel getrennt.
Ich nutze die dritte Ableitung als hinreichenden, nicht notwendigen Test.
Ich bestimme den vollständigen Punkt und seine Tangente.

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