Krümmung und Wendepunkte · Erklären & üben

Wendetangente berechnen

Eine Wendetangente ist die Tangente in einem Wendepunkt. Du brauchst dafür den vollständigen Punkt und die Steigung an genau dieser Stelle. Erst danach lässt sich die Geradengleichung bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst den Wendepunkt nachweisen

An einer Wendestelle wechselt der Graph seine Krümmungsrichtung. Für die hier betrachteten Polynome suchst du Kandidaten mit $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=0}$ und prüfst den Vorzeichenwechsel von $\mathsf{f^{\prime\prime}}$ .

Ist die Funktion in einer Umgebung dreimal stetig differenzierbar, genügt an einem Kandidaten $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(x_W)\ne0}$ als Nachweis. Ist die dritte Ableitung dort 0, ist die Entscheidung noch offen.

Der x-Wert allein ist kein Punkt. Berechne danach $\mathsf{y_W=f(x_W)}$ und notiere $\mathsf{W(x_W\mid y_W)}$ .

Erklärung 02

Die Steigung stammt aus der ersten Ableitung

Die Tangentensteigung ist $\mathsf{m=f^{\prime}(x_W)}$ . Die zweite Ableitung hilft beim Auffinden des Wendepunkts; sie ist nicht die gesuchte Tangentensteigung.

Eine Wendetangente kann steigen, fallen oder waagerecht verlaufen. Ist sie waagerecht, liegt bei diesen glatten Funktionen ein stationärer Wendepunkt, also ein Sattelpunkt, vor.

Erklärung 03

Punkt-Steigungs-Form und Achsenabschnitt

Mit Wendepunkt und Steigung erhältst du $\mathsf{t(x)=m(x-x_W)+y_W}$ . Für die Form $\mathsf{t(x)=mx+b}$ folgt daraus $\mathsf{b=y_W-mx_W}$ .

Der Achsenabschnitt b ist nur dann gleich $\mathsf{y_W}$ , wenn $\mathsf{mx_W=0}$ . Setze also nicht einfach die y-Koordinate als b ein.

Graph von x³ minus 3x² plus 2 mit Wendepunkt W(1 | 0) und gestrichelter Wendetangente minus 3x plus 3.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Wendetangente von $\mathsf{f(x)=x^3-3x^2+2}$ .

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-6x}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x-6}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{6x-6=0}$ — Kandidatenbedingung.

$\mathsf{x_W=1}$ — nach x auflösen.

$\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(1)=6\ne0}$ — der Kandidat ist eine Wendestelle.

$\mathsf{y_W=f(1)=0}$ — die y-Koordinate bestimmen.

$\mathsf{m=f^{\prime}(1)=-3}$ — die Tangentensteigung berechnen.

$\mathsf{t(x)=-3(x-1)+0}$ — Punkt und Steigung einsetzen.

$\mathsf{t(x)=-3x+3}$ — die Klammer auflösen.

Erklärung 04

Zwei kurze Kontrollen

Die Gerade muss durch W verlaufen: $\mathsf{t(x_W)=y_W}$ . Außerdem muss ihre Steigung mit $\mathsf{f^{\prime}(x_W)}$ übereinstimmen.

Diese beiden Kontrollen bestätigen die Tangente. Ob W wirklich ein Wendepunkt ist, muss bereits zuvor geprüft sein. Eine beliebige Tangente wird durch die Punktprobe nicht zur Wendetangente.

So geht es am Beispiel

Kontrolliere das Ergebnis $\mathsf{t(x)=-3x+3}$ am Wendepunkt $\mathsf{W(1\mid0)}$ .

$\mathsf{t(1)=-3+3=0}$ — der Punkt liegt auf der Geraden.

$\mathsf{t^{\prime}(x)=-3}$ — die Gerade hat konstante Steigung −3.

$\mathsf{f^{\prime}(1)=-3}$ — die Steigungen stimmen überein.

Erklärung 05

Eine verschobene Funktion

Die Punkt-Steigungs-Form ist bei verschobenen Funktionen besonders übersichtlich. Der Term $\mathsf{x-x_W}$ erinnert daran, an welcher Stelle die Tangente anliegt.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Wendetangente von $\mathsf{g(x)=(x-1)^3+2x+1}$ .

$\mathsf{g^{\prime}(x)=3(x-1)^2+2}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=6(x-1)}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{x_W=1}$ — die zweite Ableitung ist dort 0.

$\mathsf{g^{\prime\prime\prime}(1)=6\ne0}$ — Wendestelle nachgewiesen.

$\mathsf{y_W=g(1)=3}$ — Punktkoordinate.

$\mathsf{m=g^{\prime}(1)=2}$ — Steigung.

$\mathsf{t(x)=2(x-1)+3}$ — Punkt-Steigungs-Form.

$\mathsf{t(x)=2x+1}$ — ausmultiplizieren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wendetangente berechnen · EinstiegBestimme Wendepunkt und Wendetangente von $\mathsf{f(x)=x^3+2x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wendepunkt
Wendetangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+2}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_W=0}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=6\ne0}$ — Wendestelle.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_W=f(0)=0}$ — Höhe.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=f^{\prime}(0)=2}$ — Steigung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=0-2\cdot0=0}$ — Achsenabschnitt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wendepunkt $\mathsf{W(0\mid0)}$
2. Wendetangente $\mathsf{t(x)=2x}$
02
Aufgabe 2Wendetangente berechnen · EinstiegBestimme die Wendetangente von $\mathsf{f(x)=2x^3-6x^2+5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wendepunkt und Steigung
Wendetangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2-12x}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x-12}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_W=1}$ — zweite Ableitung gleich 0.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(1)=12\ne0}$ — Nachweis.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_W=f(1)=1}$ — Höhe.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=f^{\prime}(1)=-6}$ — Steigung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=1-(-6)\cdot1=7}$ — Achsenabschnitt.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-6x+7}$ — Geradengleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wendepunkt und Steigung $\mathsf{W(1\mid1),\quad m=-6}$
2. Wendetangente $\mathsf{t(x)=-6x+7}$
03
Aufgabe 3Wendetangente berechnen · StandardBerechne für $\mathsf{f(x)=x^3-6x^2+9x+1}$ die Wendetangente.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wendepunkt
Wendetangente mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-12x+9}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x-12}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_W=2}$ — Nullstelle der zweiten Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(2)=6\ne0}$ — Nachweis.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_W=f(2)=3}$ — Höhe.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=f^{\prime}(2)=-3}$ — Steigung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=3-(-3)\cdot2=9}$ — Achsenabschnitt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wendepunkt $\mathsf{W(2\mid3)}$
2. Wendetangente mit Rechnung $\mathsf{t(x)=-3x+9}$
04
Aufgabe 4Wendetangente berechnen · StandardEin Wendepunkt $\mathsf{W(-2\mid5)}$ ist bereits nachgewiesen. Dort gilt $\mathsf{f^{\prime}(-2)=3}$ . Bestimme die Wendetangente und ihren y-Achsenabschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tangente
Achsenabschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=3(x+2)+5}$ — Punkt und Steigung einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=3x+11}$ — ausmultiplizieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Tangente $\mathsf{t(x)=3x+11}$
2. Achsenabschnitt $\mathsf{b=11}$
05
Aufgabe 5Wendetangente berechnen · StandardFür einen nachgewiesenen Wendepunkt $\mathsf{W(2\mid3)}$ mit Steigung −3 wurde $\mathsf{t(x)=-3x+3}$ notiert. Erkläre den Fehler und korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler und korrigierte Tangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(2)=-3}$ — die notierte Gerade verfehlt den Punkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=3-(-3)\cdot2=9}$ — der Achsenabschnitt muss berechnet werden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-3x+9}$ — korrigierte Gleichung.
Ergebnis
1. Fehler und korrigierte TangenteDie y-Koordinate wurde mit b verwechselt. Richtig ist $\mathsf{t(x)=-3x+9}$ .
06
Aufgabe 6Wendetangente berechnen · StandardBestimme die Wendetangente von $\mathsf{f(x)=(x-2)^3-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wendepunkt
Wendetangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x-2)^2}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6(x-2)}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_W=2}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(2)=6\ne0}$ — Wendestelle.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_W=f(2)=-1}$ — Höhe.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=f^{\prime}(2)=0}$ — waagerechte Tangente.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-1}$ — konstante Geradengleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wendepunkt $\mathsf{W(2\mid-1)}$
2. Wendetangente $\mathsf{t(x)=-1}$
07
Aufgabe 7Wendetangente berechnen · StandardJemand nennt die x-Achse die Wendetangente von $\mathsf{f(x)=x^4}$ bei 0. Beurteile die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3}$ — bei 0 ist die Tangente waagerecht.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für x < 0 und x > 0 ist die zweite Ableitung positiv. Die Krümmung wechselt nicht.
Ergebnis
1. BeurteilungDie x-Achse ist eine Tangente, aber keine Wendetangente: Bei 0 liegt kein Wendepunkt.
08
Aufgabe 8Wendetangente berechnen · VertiefungFür $\mathsf{f(x)=x^3+ax+b}$ liegt ein Wendepunkt bei $\mathsf{(0\mid4)}$ ; seine Tangente hat Steigung −2. Bestimme a, b und die Wendetangente.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter
Wendetangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=b}$ — die Höhe an 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=4}$ — gegebene Koordinate nutzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+a}$ — erste Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=a=-2}$ — Steigung nutzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-2x+4}$ — Tangente durch den Wendepunkt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Parameter $\mathsf{a=-2,\quad b=4}$
2. Wendetangente $\mathsf{t(x)=-2x+4}$
09
Aufgabe 9Wendetangente berechnen · VertiefungBerechne die Wendetangente von $\mathsf{f(x)=\frac13x^3-2x^2+3x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wendepunkt
Wendetangente
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=x^2-4x+3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2x-4}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_W=2}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(2)=2\ne0}$ — Nachweis.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_W=f(2)=\frac23}$ — Höhe.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=f^{\prime}(2)=-1}$ — Steigung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=\frac23-(-1)\cdot2=\frac83}$ — Achsenabschnitt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wendepunkt $\mathsf{W(2\mid\frac23)}$
2. Wendetangente $\mathsf{t(x)=-x+\frac83}$
10
Aufgabe 10Wendetangente berechnen · VertiefungGegeben ist der abgebildete Graph von $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ . Berechne W und die Wendetangente. Zeichne die Tangente in das vorbereitete Koordinatensystem ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punkt, Gleichung und Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Punkt, Gleichung und Zeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_W=0}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=6\ne0}$ — Nachweis.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y_W=0}$ — Höhe.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=f^{\prime}(0)=-3}$ — Steigung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-3x}$ — Gerade durch W; zusätzlich etwa (1 | −3) markieren.
Ergebnis
1. Punkt, Gleichung und Zeichnung $\mathsf{W(0\mid0),\quad t(x)=-3x}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich weise den Wendepunkt vor der Tangente nach.
Ich berechne Steigung und beide Punktkoordinaten.
Ich bestimme b und prüfe den Berührpunkt.

AT Academy · Version 2026-10-21