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Satz des Pythagoras · Erklären & üben

Satz des Pythagoras Beweis

Ein Zahlenbeispiel zeigt, dass eine Gleichung passen kann. Ein Flächenbeweis erklärt, warum sie für jedes rechtwinklige Dreieck gilt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was soll bewiesen werden?

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit positiven Katheten a\mathsf{a} und b\mathsf{b} und Hypotenuse c\mathsf{c} soll die Gleichheit der Quadratflächen gezeigt werden. Ein einzelnes passendes Zahlentripel reicht dafür nicht.

  1. Halte die Voraussetzung fest: Der Winkel zwischen den Katheten ist recht.

  2. Unterscheide Beispielrechnung und allgemeines Argument.

a2+b2=c2\mathsf{a^2+b^2=c^2}

So geht es am Beispiel

Prüfe die Flächengleichheit für Katheten von 3 cm und 4 cm sowie Hypotenuse von 5 cm.

32+42=9+16=25=52\mathsf{3^2+4^2=9+16=25=5^2}

Diese Rechnung bestätigt nur dieses eine Dreieck. Der folgende Beweis arbeitet mit beliebigen positiven Katheten.

Ergebnis

Die Quadratflächen passen zusammen; die allgemeine Begründung fehlt noch.

Erklärung 02

Warum bleibt innen ein Quadrat?

Vier kongruente rechtwinklige Dreiecke liegen in den Ecken eines großen Quadrats. Seine Seitenlänge ist a+b\mathsf{a+b}. Die vier inneren Seiten sind jeweils Hypotenusen der Dreiecke und deshalb gleich lang. Für die spitzen Winkel gilt α+β=90∘\mathsf{\alpha+\beta=90^\circ}. An jedem inneren Eckpunkt ergänzen sich diese beiden Winkel und der Innenwinkel zu einem gestreckten Winkel. Deshalb beträgt jeder Innenwinkel 90 Grad.

  1. Begründe zuerst die vier gleich langen Seiten.

  2. Begründe zusätzlich die rechten Innenwinkel: Gleiche Seiten allein würden nur eine Raute sichern.

180∘−(α+β)=90∘\mathsf{180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ}

Vier kongruente rechtwinklige Dreiecke um ein inneres Quadrat.

So geht es am Beispiel

Die spitzen Winkel eines der rechtwinkligen Dreiecke betragen 35 Grad und 55 Grad. Berechne einen Innenwinkel der mittleren Figur.

180∘−35∘−55∘=90∘\mathsf{180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ}

Jede der vier Ecken hat dieselbe Winkelstruktur; innen liegt daher ein Quadrat.

Ergebnis

Der Innenwinkel beträgt 90 Grad.

Erklärung 03

Die Fläche auf zwei Wegen ausdrücken

Das große Quadrat setzt sich lückenlos aus vier Dreiecken und dem inneren Quadrat zusammen. Ziehst du die vier Dreiecksflächen ab, bleibt die Quadratfläche über der Hypotenuse. Beim Ausmultiplizieren heben sich die gemischten Terme auf. Damit gilt das Ergebnis unabhängig von konkreten Seitenlängen. Den algebraischen Anschluss findest du im Thema „a² + b² = c²“.

  1. Berechne Außenfläche und gesamte Dreiecksfläche.

  2. Subtrahiere und vereinfache mit der ersten binomischen Formel.

c2=(a+b)2−4⋅ab2=a2+b2\mathsf{c^2=(a+b)^2-4\cdot\frac{ab}{2}=a^2+b^2}

Außenfläche minus vier Dreiecke ergibt das Hypotenusenquadrat.

So geht es am Beispiel

Führe die Flächenzerlegung mit Katheten 3 cm und 4 cm aus.

Agesamt=(3+4)2=49 cm2\mathsf{A_{\mathsf{gesamt}}=(3+4)^2=49\,\mathsf{cm}^2}
ADreiecke=4⋅3⋅42=24 cm2\mathsf{A_{\mathsf{Dreiecke}}=4\cdot\frac{3\cdot4}{2}=24\,\mathsf{cm}^2}
c2=49−24=25 cm2\mathsf{c^2=49-24=25\,\mathsf{cm}^2}

Allgemein wird aus der Außenfläche der Ausdruck a² + 2ab + b². Die Dreiecke beanspruchen 2ab; übrig bleiben a² + b².

Ergebnis

Die innere Quadratfläche beträgt 25 Quadratzentimeter.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Satz des Pythagoras Beweis · EinstiegWarum ist 62+82=102\mathsf{6^2+8^2=10^2} noch kein allgemeiner Beweis?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Rechnung behandelt genau eine Seitenkombination. Ein allgemeiner Beweis muss alle rechtwinkligen Dreiecke erfassen.

    Ergebnis

    1. BegründungNur ein Beispiel; die Allgemeingültigkeit bleibt offen.
  2. Aufgabe 2Satz des Pythagoras Beweis · EinstiegVier rechtwinklige Dreiecke haben Katheten 5 cm und 12 cm. Berechne die Außenfläche des großen Quadrats und die gesamte Fläche der vier Dreiecke.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Agesamt=(5+12)2=289 cm2\mathsf{A_{\mathsf{gesamt}}=(5+12)^2=289\,\mathsf{cm}^2}
      ADreiecke=4⋅5⋅12:2=120 cm2\mathsf{A_{\mathsf{Dreiecke}}=4\cdot5\cdot12:2=120\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Außenfläche289 cm2\mathsf{289\,\mathsf{cm}^2}
    2. Vier Dreiecke zusammen120 cm2\mathsf{120\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Satz des Pythagoras Beweis · StandardEin spitzer Dreieckswinkel beträgt 28 Grad. Bestimme den anderen spitzen Winkel und den Innenwinkel des mittleren Vierecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      β=90∘−28∘=62∘\mathsf{\beta=90^\circ-28^\circ=62^\circ}
      γ=180∘−28∘−62∘=90∘\mathsf{\gamma=180^\circ-28^\circ-62^\circ=90^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zweiter spitzer Winkel62∘\mathsf{62^\circ}
    2. Innenwinkel90∘\mathsf{90^\circ}
  4. Aufgabe 4Satz des Pythagoras Beweis · StandardMarkiere in der Vorlage die vier Dreiecke. Beschrifte die mittlere Fläche mit c2\mathsf{c^2} und kennzeichne dort einen rechten Winkel. Die Seitenbezeichnungen bleiben erhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Ergänzte Beweisfigur

    Beweisfigur mit allen vorgegebenen Seitenbezeichnungen zum Markieren.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die vier Eckflächen sind kongruente rechtwinklige Dreiecke. Ihre Hypotenusen begrenzen das innere Quadrat.

      α+β=90∘\mathsf{\alpha+\beta=90^\circ}

    Ergebnis

    1. Ergänzte BeweisfigurVier Dreiecke markiert; inneres Quadrat c² mit rechtem Winkel.
  5. Aufgabe 5Satz des Pythagoras Beweis · TransferVereinfache die Flächenbilanz c2=(a+b)2−4ab:2\mathsf{c^2=(a+b)^2-4ab:2} ohne Zahlen einzusetzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      c2=a2+2ab+b2−2ab\mathsf{c^2=a^2+2ab+b^2-2ab}
      c2=a2+b2\mathsf{c^2=a^2+b^2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der gemischte Term ist genau die Gesamtfläche der vier Dreiecke und fällt beim Subtrahieren weg.

    Ergebnis

    1. Vereinfachte Gleichungc2=a2+b2\mathsf{c^2=a^2+b^2}
  6. Aufgabe 6Satz des Pythagoras Beweis · TransferJemand behauptet: Vier gleich lange Seiten genügen, damit die Innenfigur ein Quadrat ist. Erkläre den fehlenden Beweisschritt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Auch eine Raute kann vier gleich lange Seiten haben, ohne rechte Winkel zu besitzen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Erst die ergänzenden spitzen Dreieckswinkel begründen die vier rechten Innenwinkel.

    Ergebnis

    1. Fehlender SchrittDie rechten Innenwinkel müssen zusätzlich begründet werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich finde den rechten Winkel und die gegenüberliegende Hypotenuse.
  • Ich ordne Größen und Einheiten vor dem Einsetzen zu.
  • Ich kontrolliere Wurzel, Einheit und geometrische Voraussetzungen.

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