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Winkelarten · Erklären & üben

Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

Wähle die Winkelregel nach der Lage der Winkel und den gegebenen Voraussetzungen. Diese Übersicht verbindet einzelne Geradenkreuzungen mit parallelen Doppelkreuzungen zu kurzen Rechenketten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die passende Regel wählen

Scheitelwinkel: gleicher Schnittpunkt, gegenüberliegend, gleich groß.

Nebenwinkel: gleicher Schnittpunkt, gemeinsamer Schenkel und gestreckter Gesamtwinkel, Summe 180°.

Stufenwinkel: zwei Schnittpunkte, entsprechende Lage; bei Parallelen gleich groß.

Wechselwinkel: zwei Schnittpunkte, verschiedene Seiten der Transversalen, beide innen oder beide außen; bei Parallelen gleich groß.

  1. Zähle die beteiligten Schnittpunkte.

  2. Prüfe die Lage und dann die Voraussetzungen.

Der Name eines Winkelpaars beschreibt seine Lage; eine Rechenregel benötigt die passenden Voraussetzungen.

Erklärung 02

An einer Kreuzung rechnen

Für eine einfache Kreuzung benötigst du keine Parallelität. Ein bekannter Winkel legt alle vier Winkel fest. Die Gegenüberlage liefert Gleichheit; ein benachbarter Winkel wird auf 180° ergänzt.

  1. Übernimm auf den Scheitelwinkel.

  2. Ergänze zum Nebenwinkel und übernimm auch dessen Gegenwinkel.

α=γ,α+β=180∘\mathsf{\alpha=\gamma,\quad\alpha+\beta=180^\circ}

Einzelkreuzung mit umlaufend α, β, γ, δ; gegenüberliegend gleich, benachbart ergänzend.

So geht es am Beispiel

In der Einzelkreuzung beträgt α genau 47°. Bestimme die übrigen Winkel.

γ=47∘\mathsf{\gamma=47^\circ}
β=180∘−47∘=133∘\mathsf{\beta=180^\circ-47^\circ=133^\circ}
δ=β=133∘\mathsf{\delta=\beta=133^\circ}

Ergebnis

γ beträgt 47°; β und δ betragen jeweils 133°.

Erklärung 03

An parallelen Doppelkreuzungen

In der Doppelkreuzung sind α und β Stufenwinkel, γ und β innere Wechselwinkel. Weil g und h parallel sind, sind alle drei gleich groß. δ und β sind Innenwinkel auf derselben Seite von t und ergänzen sich zu 180°. Dieses Paar heißt auch E-Winkel oder gleichseitige Innenwinkel; es ist kein Nebenwinkelpaar, denn die Scheitel sind verschieden.

  1. F-Figur: gleiche Lage, Stufenwinkel.

  2. Z-Figur: verschiedene Seiten, innere Wechselwinkel.

  3. E-Figur: gleiche Seite innen, Summe 180°.

α=β=γ,δ+β=180∘\mathsf{\alpha=\beta=\gamma,\quad\delta+\beta=180^\circ}

Parallele g und h mit t; α/β Stufenwinkel, γ/β innere Wechselwinkel, δ/β Innenwinkel auf derselben Seite.

Erklärung 04

Jeden Schritt begründen

Eine Rechenkette kann verschiedene Regeln verbinden. Schreibe zu jedem Übergang die Beziehung auf. Prüfe am Ende, ob die Winkelwerte zur Größenklasse passen und keine notwendige Parallelität fehlt.

  1. Beginne beim gegebenen Winkel.

  2. Gehe jeweils über ein eindeutig bestimmtes Winkelpaar zum gesuchten Winkel.

Gleichheit und Ergänzung werden nicht vertauscht.

So geht es am Beispiel

In der Doppelkreuzung gilt g parallel h und α = 68°. Bestimme β, γ und δ.

β=α=68∘\mathsf{\beta=\alpha=68^\circ} (Stufenwinkel an Parallelen).

γ=β=68∘\mathsf{\gamma=\beta=68^\circ} (innere Wechselwinkel an Parallelen).

δ=180∘−β=112∘\mathsf{\delta=180^\circ-\beta=112^\circ} (gleichseitige Innenwinkel).

Ergebnis

β und γ betragen 68°, δ beträgt 112°.

Erklärung 05

Winkelart als Kontrolle

Die Winkelart ist eine Größenklasse: beispielsweise spitz oder stumpf. Ein Winkel von 68° ist spitz und kann zugleich Stufenwinkel eines Paars sein. Die Begriffe schließen sich nicht aus.

  1. Weiterlernen: Winkelarten für Größenbereiche und Grenzwerte.

  2. Übe Einzelkreuzungen sowie Stufen- und Wechselwinkel getrennt, wenn die Auswahl der Regel noch unsicher ist.

Ein stumpfer gesuchter Winkel kann kein Ergebnis kleiner als 90° haben.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel · AnwendenZwei Winkel an derselben Geradenkreuzung liegen einander gegenüber. Der erste beträgt 81°. Nenne die passende Beziehung und den zweiten Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gegenüberliegende Winkel an einer Kreuzung sind Scheitelwinkel.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. BeziehungScheitelwinkel
    2. Zweiter Winkel81∘\mathsf{81^\circ}
  2. Aufgabe 2Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel · AnwendenVerwende die Doppelkreuzung aus der Erklärung: g parallel h und α = 72°. Bestimme β und δ mit Begründung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      β=α=72∘\mathsf{\beta=\alpha=72^\circ} wegen der Stufenwinkelregel.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      δ=180∘−72∘=108∘\mathsf{\delta=180^\circ-72^\circ=108^\circ} wegen der gleichseitigen Innenwinkel.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Winkel β72∘\mathsf{72^\circ}
    2. Winkel δ108∘\mathsf{108^\circ}
  3. Aufgabe 3Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel · AnwendenZwei gleichseitige Innenwinkel an parallelen Geraden sind gegeben. Einer beträgt 109°. Berechne den anderen und erkläre, warum das Paar keine Nebenwinkel bildet.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−109∘=71∘\mathsf{180^\circ-109^\circ=71^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden Winkel liegen an unterschiedlichen Schnittpunkten. Nebenwinkel müssten denselben Scheitel haben.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Anderer Innenwinkel71∘\mathsf{71^\circ}
    2. AbgrenzungKeine Nebenwinkel, weil ihre Scheitel verschieden sind.
  4. Aufgabe 4Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel · AnwendenMarkiere in der Vorlage α oben rechts an h und β oben rechts an g. Markiere zusätzlich γ unten links an h. So entstehen ein Stufenwinkelpaar und ein inneres Wechselwinkelpaar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Markierte Winkelpaare

    Leere Winkelmarkierungsvorlage mit parallelen g und h, Transversale t und Punkt P.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      α und β haben entsprechende Lage.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      γ und β liegen innen auf verschiedenen Seiten von t.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Ergänze Winkelbögen und eindeutige Buchstaben.

    Ergebnis

    1. Markierte Winkelpaareα/β bilden Stufenwinkel; γ/β bilden innere Wechselwinkel.
  5. Aufgabe 5Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel · AnwendenZwei gleichseitige Innenwinkel an parallelen Geraden haben die Maße 3x und 2x. Berechne beide Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      3x+2x=180∘\mathsf{3x+2x=180^\circ}
      x=36∘\mathsf{x=36^\circ}
      3x=108∘,2x=72∘\mathsf{3x=108^\circ,\quad2x=72^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster Winkel 3x108∘\mathsf{108^\circ}
    2. Zweiter Winkel 2x72∘\mathsf{72^\circ}
  6. Aufgabe 6Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel · AnwendenJemand behauptet: „Stufenwinkel sind immer gleich groß, weil Scheitelwinkel auch immer gleich groß sind.“ Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Scheitelwinkel liegen an einer einzigen Geradenkreuzung.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Stufenwinkel liegen an zwei Kreuzungen. Für ihre Gleichheit muss die Parallelität der geschnittenen Geraden vorliegen.

    Ergebnis

    1. Korrigierte AussageStufenwinkel sind bei parallelen geschnittenen Geraden gleich groß. Die Scheitelwinkelregel allein reicht als Begründung nicht aus.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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