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Winkelarten · Erklären & üben

Stufenwinkel und Wechselwinkel

Eine Gerade t schneidet zwei andere Geraden. Stufenwinkel und Wechselwinkel beschreiben die Lage von Winkeln an den beiden Schnittpunkten. Sind die geschnittenen Geraden parallel, sind diese Winkelpaare gleich groß.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Schnittpunkte

Die schneidende Gerade t heißt Transversale. Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage. Innere Wechselwinkel liegen zwischen g und h, aber auf verschiedenen Seiten von t. Die Lagebezeichnungen sind auch ohne Parallelität möglich; die Gleichheit braucht die zusätzliche Voraussetzung.

  1. Identifiziere zuerst die beiden geschnittenen Geraden.

  2. Prüfe, ob ihre Parallelität gegeben oder begründet ist.

Eine Zeichnung, die parallel aussieht, ersetzt keine Voraussetzung.

Parallele g und h mit Transversale t: α und β sind Stufenwinkel, γ und β innere Wechselwinkel, δ und β innere Winkel auf derselben Seite.

Erklärung 02

Stufenwinkel: gleiche Lage

In der Zeichnung liegen α und β jeweils oberhalb der waagerechten Geraden und rechts von t. Sie sind Stufenwinkel. Bei parallelen g und h sind sie gleich groß. Die Form wird manchmal als F-Figur bezeichnet.

  1. Verfolge denselben Winkelbereich von einer Kreuzung zur anderen.

g∥h ⟹ α=β\mathsf{g\parallel h\ \Longrightarrow\ \alpha=\beta}

So geht es am Beispiel

g und h sind parallel. α beträgt 64°. Bestimme den Stufenwinkel β.

Die Parallelität erlaubt die Stufenwinkelregel.

β=α=64∘\mathsf{\beta=\alpha=64^\circ}

Ergebnis

β=64∘\mathsf{\beta=64^\circ}

Erklärung 03

Wechselwinkel: gegenüber im Innenraum

γ und β liegen im Streifen zwischen g und h auf verschiedenen Seiten von t. Sie sind innere Wechselwinkel. Bei Parallelen sind sie gleich groß; die Figur ähnelt einem Z. Auch äußere Wechselwinkel sind bei Parallelen gleich groß.

  1. Suche zwei Winkel auf unterschiedlichen Seiten der Transversalen.

  2. Prüfe zusätzlich, ob beide innen oder beide außen liegen.

g∥h ⟹ γ=β\mathsf{g\parallel h\ \Longrightarrow\ \gamma=\beta}

So geht es am Beispiel

Ein innerer Wechselwinkel beträgt 71°. g und h sind parallel. Bestimme den zugehörigen Winkel.

Beide Winkel sind innere Wechselwinkel an Parallelen.

Ergebnis

Der zugehörige Winkel beträgt 71°.

Erklärung 04

Ergänzen und umgekehrt prüfen

Innere Winkel auf derselben Seite von t, hier δ und β, ergänzen sich bei Parallelen zu 180°. Umgekehrt gilt: Sind entsprechende Stufenwinkel oder ein Wechselwinkelpaar gleich groß, sind die zwei von t geschnittenen Geraden parallel.

  1. Verwechsle Wechselwinkel nicht mit Innenwinkeln auf derselben Seite.

  2. Für eine Parallelitätsprobe müssen die gemessenen Winkel das passende Paar bilden.

δ+β=180∘\mathsf{\delta+\beta=180^\circ}

So geht es am Beispiel

β beträgt 64°. Bestimme δ bei parallelen g und h.

δ=180∘−64∘=116∘\mathsf{\delta=180^\circ-64^\circ=116^\circ}

Ergebnis

δ=116∘\mathsf{\delta=116^\circ}

So geht es am Beispiel

Entsprechende Stufenwinkel sind beide genau 64° groß. Was folgt?

Es handelt sich um ein entsprechendes Winkelpaar an derselben Transversalen.

Die Gleichheit erfüllt die Umkehrung der Stufenwinkelregel.

Ergebnis

Die geschnittenen Geraden sind parallel.

Erklärung 05

Mit Scheitelwinkeln verbinden

An einem einzelnen Schnittpunkt sind Scheitelwinkel gleich groß. So kannst du einen Wechselwinkel zunächst auf einen Scheitelwinkel zurückführen und anschließend mit einem Stufenwinkel vergleichen. Das verbindet die Regeln, ohne ihre Voraussetzungen zu vermischen.

  1. Weiterlernen: Scheitelwinkel und Nebenwinkel für die lokale Kreuzung.

  2. Für längere Rechenketten folgt die gemeinsame Übersicht aller vier Winkelpaare.

An einer Kreuzung gilt die Scheitelwinkelregel unabhängig von weiteren Geraden.

Einzelne Geradenkreuzung als Anschluss: gegenüberliegende Winkel gleich, benachbarte ergänzen sich auf 180 Grad.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Stufenwinkel und Wechselwinkel · AnwendenEine Transversale schneidet parallele Geraden. Ein Stufenwinkel beträgt 58°. Bestimme seinen zugehörigen Stufenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.

    Ergebnis

    1. Zugehöriger Stufenwinkel58∘\mathsf{58^\circ}
  2. Aufgabe 2Stufenwinkel und Wechselwinkel · AnwendenAn parallelen Geraden beträgt ein innerer Wechselwinkel 123°. Bestimme seinen Partner.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Innere Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

    Ergebnis

    1. Wechselwinkel123∘\mathsf{123^\circ}
  3. Aufgabe 3Stufenwinkel und Wechselwinkel · AnwendenZwei parallele Geraden werden von t geschnitten. Ein Innenwinkel beträgt 76°. Berechne den Innenwinkel am anderen Schnittpunkt auf derselben Seite von t.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−76∘=104∘\mathsf{180^\circ-76^\circ=104^\circ}

    Ergebnis

    1. Innenwinkel auf derselben Seite104∘\mathsf{104^\circ}
  4. Aufgabe 4Stufenwinkel und Wechselwinkel · AnwendenZeichne durch P die Parallele h zu g. Markiere oben rechts an h den Winkel α und oben rechts an g den Winkel β.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Parallele und Winkelmarkierungen

    Leere Zeichenvorlage mit Gerade g, Transversale t und Punkt P auf t; die Parallele h fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verschiebe die Zeichenkante parallel zu g bis durch P.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne h und beschrifte die Gerade.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      α und β liegen in gleicher Lage; sie bilden ein Stufenwinkelpaar.

    Ergebnis

    1. Parallele und Winkelmarkierungenh verläuft parallel zu g durch P; α und β sind die beiden oberen rechten Winkel.
  5. Aufgabe 5Stufenwinkel und Wechselwinkel · AnwendenEine Transversale erzeugt an zwei Geraden entsprechende Stufenwinkel von genau 67° und 67°. Was kannst du über die Geraden folgern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die entsprechenden Stufenwinkel sind gleich groß.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nach der Umkehrung der Stufenwinkelregel sind die Geraden parallel.

    Ergebnis

    1. Begründete FolgerungDie beiden geschnittenen Geraden sind parallel.
  6. Aufgabe 6Stufenwinkel und Wechselwinkel · AnwendenZwei Geraden werden von t geschnitten. Über ihre Lage ist nichts bekannt. Ein Winkel beträgt 62°. Darfst du den zugehörigen Wechselwinkel ohne weitere Angaben ebenfalls mit 62° angeben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Lage als Wechselwinkel allein garantiert keine Gleichheit.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Es fehlt die Voraussetzung oder ein Nachweis der Parallelität.

    Ergebnis

    1. Begründete EntscheidungNein. Erst bei parallelen Geraden darf die Gleichheit verwendet werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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