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Winkelarten · Erklären & üben

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

An einer Geradenkreuzung entstehen vier Winkel. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Winkel gehören zusammen?

Zwei verschiedene Geraden schneiden sich in S. Ihre vier Strahlen begrenzen vier Winkelbereiche. Scheitelwinkel liegen gegenüber. Nebenwinkel liegen nebeneinander; sie teilen einen Schenkel, während die beiden anderen Schenkel entgegengesetzte Strahlen derselben Geraden sind.

  1. Suche den gemeinsamen Scheitel.

  2. Prüfe die Schenkel: gegenüberliegend oder gemeinsamer Schenkel mit gerader Fortsetzung?

Nicht jedes benachbarte Winkelpaar ist ein Nebenwinkelpaar.

Geraden g und h schneiden sich in S; α und γ liegen gegenüber, β und δ liegen gegenüber.

Erklärung 02

Scheitelwinkel sind gleich groß

In der Zeichnung sind α und γ Scheitelwinkel. Ebenso sind β und δ Scheitelwinkel. Die Gleichheit folgt aus den Nebenwinkelsummen: Beide gegenüberliegenden Winkel ergänzen denselben benachbarten Winkel auf 180°.

  1. Bestimme den gegenüberliegenden Winkelbereich.

  2. Übernimm das Winkelmaß.

α=γ,β=δ\mathsf{\alpha=\gamma,\quad\beta=\delta}

So geht es am Beispiel

α beträgt 62°. Bestimme den gegenüberliegenden Winkel γ.

α und γ sind Scheitelwinkel.

γ=α=62∘\mathsf{\gamma=\alpha=62^\circ}

Ergebnis

γ=62∘\mathsf{\gamma=62^\circ}

Erklärung 03

Nebenwinkel ergänzen sich

Nebenwinkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Deshalb ist ihre Summe 180°. Bei einer rechtwinkligen Kreuzung sind beide 90°; sonst ist einer spitz und der andere stumpf.

  1. Ziehe das bekannte Winkelmaß von 180° ab.

α+β=180∘\mathsf{\alpha+\beta=180^\circ}

Ein stumpfer Winkel von 125 Grad; seine Ergänzung zu einem gestreckten Winkel beträgt 55 Grad.

So geht es am Beispiel

α beträgt 62°. Bestimme den Nebenwinkel β.

β=180∘−62∘=118∘\mathsf{\beta=180^\circ-62^\circ=118^\circ}

Ergebnis

β=118∘\mathsf{\beta=118^\circ}

Erklärung 04

Gleichungen und vollständige Kreuzungen

Trage zu jeder Rechnung die verwendete Beziehung ein. So verwechselt du Übernehmen und Ergänzen nicht. Bei vier Winkeln dient die Summe 360° als Kontrolle.

  1. Berechne zuerst einen Nebenwinkel.

  2. Übertrage beide Werte auf die gegenüberliegenden Winkel.

An einer Kreuzung reichen ein Winkelmaß und die Geradenlage aus.

So geht es am Beispiel

Zwei Nebenwinkel sind x und 2x groß. Bestimme beide.

x+2x=180∘\mathsf{x+2x=180^\circ}
3x=180∘\mathsf{3x=180^\circ}
x=60∘,2x=120∘\mathsf{x=60^\circ,\quad2x=120^\circ}

Ergebnis

Die Nebenwinkel betragen 60° und 120°.

Erklärung 05

Weiter zu parallelen Geraden

Scheitel- und Nebenwinkelregeln benötigen keine Parallelität. Beim Thema Stufenwinkel und Wechselwinkel kommen zwei Kreuzungen hinzu: Erst die Parallelität der geschnittenen Geraden begründet dort gleiche Stufen- oder Wechselwinkel.

  1. Nutze zuerst die Regeln an einer Kreuzung, dann die Beziehung zwischen den Kreuzungen.

Die Voraussetzung muss zu der verwendeten Regel passen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Scheitelwinkel und Nebenwinkel · AnwendenEin Winkel beträgt 73°. Wie groß ist sein Scheitelwinkel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Ergebnis

    1. Scheitelwinkel73∘\mathsf{73^\circ}
  2. Aufgabe 2Scheitelwinkel und Nebenwinkel · AnwendenBerechne den Nebenwinkel zu 116°.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−116∘=64∘\mathsf{180^\circ-116^\circ=64^\circ}

    Ergebnis

    1. Nebenwinkel64∘\mathsf{64^\circ}
  3. Aufgabe 3Scheitelwinkel und Nebenwinkel · AnwendenAn einer Kreuzung heißen die Winkel in umlaufender Reihenfolge α, β, γ, δ. α beträgt 48°. Bestimme β, γ und δ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      β=180∘−48∘=132∘\mathsf{\beta=180^\circ-48^\circ=132^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      γ liegt gegenüber von α; δ liegt gegenüber von β.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Winkel β132∘\mathsf{132^\circ}
    2. Winkel γ48∘\mathsf{48^\circ}
    3. Winkel δ132∘\mathsf{132^\circ}
  4. Aufgabe 4Scheitelwinkel und Nebenwinkel · AnwendenZeichne durch S eine Gerade h, sodass rechts oberhalb von g ein Winkel von 55° entsteht. Markiere seinen Scheitelwinkel mit γ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Kreuzung und Scheitelwinkel

    Leere Zeichenvorlage mit Gerade g und Punkt S auf g.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Trage von der nach rechts gerichteten Hälfte von g aus 55° gegen den Uhrzeigersinn ab.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne h durch S und die Markierung; verlängere h auf beiden Seiten.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      γ liegt gegenüber, also links unterhalb von g.

    Ergebnis

    1. Kreuzung und Scheitelwinkelh bildet rechts oben 55° mit g; γ ist der gegenüberliegende Winkel links unten.
  5. Aufgabe 5Scheitelwinkel und Nebenwinkel · AnwendenZwei Nebenwinkel haben die Maße x und 2x. Berechne beide.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x+2x=180∘\mathsf{x+2x=180^\circ}
      x=60∘\mathsf{x=60^\circ}
      2x=120∘\mathsf{2x=120^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster Winkel x60∘\mathsf{60^\circ}
    2. Zweiter Winkel 2x120∘\mathsf{120^\circ}
  6. Aufgabe 6Scheitelwinkel und Nebenwinkel · AnwendenZwei benachbarte Winkel mit gemeinsamem Schenkel sind 30° und 40° groß. Sind sie Nebenwinkel? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ihre Summe ist 70°, nicht 180°.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die äußeren Schenkel bilden deshalb keine Gerade.

    Ergebnis

    1. Begründete EntscheidungNein. Ein gemeinsamer Schenkel allein genügt nicht; die äußeren Schenkel müssten entgegengesetzte Strahlen sein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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