Ebenen · Erklären & üben

Schnittgerade zweier Ebenen

Zwei verschiedene, nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Jeder Punkt dieser Schnittgeraden muss beide Ebenengleichungen gleichzeitig erfüllen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst die Lage prüfen

Zwei Ebenen können identisch, echt parallel oder schneidend sein. Proportionale Normalen zeigen parallele Richtungen; dann entscheidet eine Punktprobe zwischen identisch und echt parallel. Nicht proportionale Normalen führen zu einer Schnittgeraden. Identische Ebenen besitzen nicht nur eine gemeinsame Gerade, sondern die ganze Ebene gemeinsam.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec n_1\not\parallel\vec n_2\Rightarrow\textsf{Schnittgerade}}$

So geht es am Beispiel

Bestimme den Schnitt von $\mathsf{E:z=1}$ und $\mathsf{F:x=2}$ .

x ist2, z ist1; y ist frei.

Erklärung 02

Zwei Gleichungen, eine freie Koordinate

Löse das lineare Gleichungssystem der beiden Ebenen. Wähle eine geeignete freie Koordinate als Parameter und drücke die anderen durch sie aus. Zerlege die Lösung in einen festen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Prüfe anschließend beide Ebenengleichungen.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{E_1\cap E_2=\{\vec p+t\vec u\mid t\in\mathbb R\}}$

So geht es am Beispiel

Bestimme die Schnittgerade von $\mathsf{x+y=3}$ und $\mathsf{z=1}$ .

\mathsf{y=t,\quad x=3-t,\quad z=1}

Erklärung 03

Bei Parameterformen gleichsetzen

Verwende für die beiden Ebenen verschiedene Parameter. Setze die drei Komponenten gleich und löse das entstehende System. Bei einer Schnittgeraden bleibt ein freier Parameter. Alternativ kannst du zunächst Koordinatenformen bestimmen. Eine Richtungsprobe kontrolliert zusätzlich, ob die Geradenrichtung zu beiden Ebenennormalen orthogonal ist.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec p+s\vec u+t\vec v=\vec q+r\vec a+w\vec b}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{E:\vec x=(0,0,1)+s(1,0,0)+t(0,1,0)}$ und $\mathsf{F:\vec x=(2,0,0)+r(0,1,0)+w(0,0,1)}$ . Bestimme den Schnitt.

\mathsf{s=2,\quad t=r,\quad w=1}

r bleibt frei.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schnittgerade zweier Ebenen · standardBestimme den Schnitt von $\mathsf{z=2}$ und $\mathsf{x=1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittgerade
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Koordinate y ist frei.
Ergebnis
1. Schnittgerade $\mathsf{\vec x=(1,0,2)+t(0,1,0)}$
02
Aufgabe 2Schnittgerade zweier Ebenen · standardBestimme den Schnitt von $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{y+z=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittgerade
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=t\Rightarrow x=4-t,\ z=2-t}$
Ergebnis
1. Schnittgerade $\mathsf{\vec x=(4,0,2)+t(-1,1,-1)}$
03
Aufgabe 3Schnittgerade zweier Ebenen · standardDie Vorlage zeigt die Ebenen $\mathsf{E:z=1}$ und $\mathsf{F:x=1}$ . Zeichne die gemeinsame Gerade im überlappenden Ausschnitt nach und beschrifte sie mit g. Gib eine Parameterform an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Schnittzeichnung
Parameterform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  x und z sind1; y kann beliebig sein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. SchnittzeichnungGemeinsame Linie beider Ebenenausschnitte, mit g beschriftet.
2. Parameterform $\mathsf{\vec x=(1,0,1)+t(0,1,0)}$
04
Aufgabe 4Schnittgerade zweier Ebenen · standardHaben $\mathsf{x+y+z=1}$ und $\mathsf{2x+2y+2z=4}$ eine Schnittgerade?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Gleichung vereinfacht sich zu $\mathsf{x+y+z=2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die linken Seiten sind gleich, die rechten verschieden.
Ergebnis
1. LageEcht parallel; keine gemeinsamen Punkte.
05
Aufgabe 5Schnittgerade zweier Ebenen · standardBestimme die Lage von $\mathsf{x-y+z=2}$ und $\mathsf{3x-3y+3z=6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Gleichung ist das Dreifache der ersten.
Ergebnis
1. LageIdentisch; die gesamte Ebene ist gemeinsam.
06
Aufgabe 6Schnittgerade zweier Ebenen · standardPrüfe $\mathsf{g:\vec x=(3,0,1)+t(-1,1,0)}$ in den Ebenen $\mathsf{x+y=3}$ und $\mathsf{z=1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prüfung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+y=(3-t)+t=3}$
  $\mathsf{z=1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Gleichungen gelten für jeden reellen Parameter.
Ergebnis
1. PrüfungJeder Geradenpunkt liegt in beiden Ebenen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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