Ebenen · Erklären & üben

Schnittpunkt Gerade Ebene

Beim Schnittpunkt von Gerade und Ebene suchst du einen Punkt, der beide Gleichungen erfüllt. Die Parameterform der Geraden wird dafür in die Ebenengleichung eingesetzt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Den Geradenparameter bestimmen

Schreibe die drei Geradenkoordinaten als Funktionen desselben Parameters. Setze sie in die Koordinatenform der Ebene ein. Eine eindeutige Lösung des Parameters liefert genau einen Schnittpunkt; setze sie anschließend wieder in die Gerade ein.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec x=\vec p+t\vec u}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g:\vec x=t(1,2,1)}$ und $\mathsf{E:z=3}$ . Berechne den Schnittpunkt.

\mathsf{z=t=3}

\mathsf{\vec x=3(1,2,1)=(3,6,3)}

Erklärung 02

Eine Ebene in Parameterform

Ist auch die Ebene parametrisiert, setzt du gleich. Die drei Koordinatengleichungen bestimmen den Geradenparameter und gegebenenfalls die beiden Ebenenparameter. Verwende unterschiedliche Buchstaben, damit die Parameter nicht versehentlich gleichgesetzt werden.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{\vec p+t\vec u=\vec a+s\vec v+r\vec w}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g:\vec x=t(1,1,1)}$ und $\mathsf{E:\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+r(0,1,0)}$ . Bestimme S.

\mathsf{t=s,\quad t=r,\quad t=2}

\mathsf{S(2|2|2)}

Erklärung 03

Ein Punkt, kein Punkt oder die ganze Gerade

Nach dem Einsetzen entsteht eine Gleichung $\mathsf{at=b}$ . Ist $\mathsf{a\ne0}$ , gibt es einen Schnittpunkt. Bei $\mathsf{a=0,b\ne0}$ ist die Gerade echt parallel zur Ebene. Bei $\mathsf{a=b=0}$ liegt die gesamte Gerade in der Ebene. Geometrisch bedeutet $\mathsf{\vec n\cdot\vec u=0}$ , dass die Geradenrichtung parallel zur Ebene verläuft; die Stützpunktprobe entscheidet den zweiten Fall.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{at=b}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{g:\vec x=(1,0,1)+t(1,0,0)}$ und $\mathsf{E:z=2}$ . Bestimme die Lage.

Alle Geradenpunkte besitzen z=1.

Einsetzen verlangt 1=2.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schnittpunkt Gerade Ebene · standardBestimme den Schnitt von $\mathsf{g:\vec x=t(1,2,1)}$ mit $\mathsf{z=4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=4\Rightarrow S(4|8|4)}$
Ergebnis
1. Schnittpunkt $\mathsf{S(4|8|4)}$
02
Aufgabe 2Schnittpunkt Gerade Ebene · standardBestimme den Schnitt von $\mathsf{\vec x=t(1,1,1)}$ mit $\mathsf{x+y+z=6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter
Schnittpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3t=6\Rightarrow t=2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Parameter $\mathsf{t=2}$
2. Schnittpunkt $\mathsf{S(2|2|2)}$
03
Aufgabe 3Schnittpunkt Gerade Ebene · standardIn der Vorlage steht die Gerade $\mathsf{g:\vec x=(1,1,0)+t(0,0,1)}$ und die Ebene $\mathsf{E:z=1}$ . Markiere ihren Schnittpunkt und beschrifte ihn mit seinen Koordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Schnittzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Auf der Geraden sind x=y=1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Ebenenbedingung liefert z=t=1.
Ergebnis
1. SchnittzeichnungMarkierter Punkt $\mathsf{S(1|1|1)}$ .
04
Aufgabe 4Schnittpunkt Gerade Ebene · standardBestimme die Lage von $\mathsf{g:\vec x=(0,0,2)+t(1,1,0)}$ zu $\mathsf{E:z=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die dritte Koordinate ist auf der ganzen Geraden2.
Ergebnis
1. LageDie Gerade liegt vollständig in E.
05
Aufgabe 5Schnittpunkt Gerade Ebene · standardBestimme die Lage von $\mathsf{g:\vec x=(0,0,3)+t(1,0,0)}$ zu $\mathsf{E:z=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Einsetzen liefert 3=2; die Geradenrichtung hat keine z-Komponente.
Ergebnis
1. LageEcht parallel; kein Schnittpunkt.
06
Aufgabe 6Schnittpunkt Gerade Ebene · standardLöse den Schnitt von $\mathsf{g:\vec x=(0,0,0)+t(2,1,1)}$ mit $\mathsf{E:\vec x=(0,0,3)+s(1,0,0)+r(0,1,0)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geradenparameter
Schnittpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2t=s,\quad t=r,\quad t=3}$
  $\mathsf{s=6,\quad r=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Geradenparameter $\mathsf{t=3}$
2. Schnittpunkt $\mathsf{S(6|3|3)}$

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