Schnittpunkte und Winkel · Erklären & üben

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Ein Achsenschnittpunkt hat eine Koordinate null. Auf der y-Achse gilt x=0; auf der x-Achse gilt y=0. Diese beiden Bedingungen führen zu unterschiedlichen Rechnungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze x=0 in den Funktionsterm ein. Ist 0 im Definitionsbereich, lautet der Punkt Sy(0|f(0)).

Ist f(0) nicht definiert, gibt es keinen y-Achsenschnittpunkt. Ein Graph einer Funktion kann höchstens einen solchen Punkt besitzen.

So geht es am Beispiel

f(x)=2x−4

$\mathsf{f(0)=2\cdot0-4}$ — einsetzen.

$\mathsf{f(0)=-4}$ — ausrechnen.

Erklärung 02

Schnittpunkte mit der x-Achse

Setze den Funktionswert gleich null und löse f(x)=0 im Definitionsbereich. Jede zulässige Lösung a ergibt einen Punkt Sx(a|0).

Es kann keine, eine oder mehrere Nullstellen geben. Auch ein Berührpunkt mit der x-Achse gehört zur Punktmenge der Schnittpunkte.

Parabel mit beiden Nullstellen und y-Achsenpunkt auf beschrifteten Skalen.

So geht es am Beispiel

f(x)=x²−4

$\mathsf{x^2-4=0}$ — Nullstellenbedingung.

$\mathsf{x^2=4}$ — 4 addieren.

$\mathsf{x=-2\ \textsf{oder}\ x=2}$ — beide Wurzeln.

Erklärung 03

Definitionsbereich und Sonderfälle

Bei einem Bruch kann der Zähler null werden, aber der Nenner muss dabei ungleich null bleiben. Durch Kürzen verschwindet eine ursprüngliche Ausschlussstelle nicht.

Bei f(x)=0 liegt der gesamte Graph auf der x-Achse. Bei f(x)=c mit c≠0 gibt es keinen x-Achsenschnittpunkt.

Der Ursprung (0|0) kann auf beiden Achsen liegen; er ist dann derselbe Punkt, nicht zwei verschiedene Punkte.

So geht es am Beispiel

f(x)=(x−1)/(x−1), x≠1

Bei x=1 ist der ursprüngliche Nenner null.

Für x≠1 gilt f(x)=1.

Eine Nullstelle gibt es nicht.

Erklärung 04

Punkte prüfen und beschriften

Prüfe einen errechneten Punkt durch Einsetzen. Bei einer Nullstelle muss der Funktionswert wirklich null sein.

Schreibe die Ergebnisse als Punkte mit beiden Koordinaten. Die Zahl −2 allein ist eine Nullstelle, aber noch keine vollständige Punktangabe.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · GrundlagenBestimme beide Achsenschnittpunkte von f(x)=3x−6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=-6}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x-6=0}$ — x-Achse.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x=6}$ — addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — teilen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSy(0|−6), Sx(2|0).
02
Aufgabe 2Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · GrundlagenBestimme die Achsenschnittpunkte von f(x)=−2x+4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x+4=0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x=-4}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSy(0|4), Sx(2|0).
03
Aufgabe 3Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · GrundlagenUntersuche f(x)=x²−9.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=-9}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=9}$ — Nullstellen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSy(0|−9), S₁(−3|0), S₂(3|0).
04
Aufgabe 4Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · AnwendenUntersuche f(x)=(x−2)².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-2)^2=0\Rightarrow x=2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSy(0|4), Berührpunkt Sx(2|0).
05
Aufgabe 5Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · AnwendenUntersuche f(x)=x²+1 im Reellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+1\ge1>0}$ — keine Nullstelle.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSy(0|1); kein x-Achsenschnittpunkt.
06
Aufgabe 6Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · AnwendenUntersuche f(x)=1/x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  0 liegt nicht im Definitionsbereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Zähler 1 wird nie null.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKeine Schnittpunkte mit den Achsen.
07
Aufgabe 7Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · AnwendenUntersuche f(x)=(x−2)/(x+1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne-1}$ — Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=-2}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-2=0\Rightarrow x=2}$ — zulässige Nullstelle.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSy(0|−2), Sx(2|0).
08
Aufgabe 8Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · VertiefenJemand nennt für f(x)=2x−4 den Punkt (0|2) als Nullstelle. Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-4=0\Rightarrow x=2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Auf der x-Achse ist die zweite Koordinate null.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDer x-Achsenschnittpunkt ist (2|0).
09
Aufgabe 9Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen · VertiefenMarkiere bei der gegebenen Parabel x²−1 alle Achsenschnittpunkte und beschrifte sie mit ihren Koordinaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f(0)=-1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1}$ .
Ergebnis
1. Antwort und Begründung(0|−1), (−1|0), (1|0).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe den gemeinsamen Definitionsbereich.
Ich unterscheide x=0 und y=0.
Ich nenne vollständige Punkte und prüfe beide y-Werte.

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