Schnittpunkte und Winkel · Erklären & üben

Schnittpunkte zweier Funktionen

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen sind gemeinsame Punkte im gemeinsamen Definitionsbereich. Das Gleichsetzen kann keine, eine, mehrere oder sogar unendlich viele Lösungen liefern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gemeinsamen Bereich voranstellen

Nur Eingaben, für die beide Funktionen definiert sind, kommen infrage. Bestimme diesen gemeinsamen Bereich vor dem Gleichsetzen.

Löse f(x)=g(x). Für jede zulässige Lösung a berechnest du y=f(a) und prüfst y=g(a). Notiere alle Punkte (a|y).

Parabel und Gerade mit beiden exakt eingetragenen gemeinsamen Punkten.

So geht es am Beispiel

Schneide f(x)=x² mit g(x)=x+2.

$\mathsf{D=\mathbb R}$ — gemeinsamer Bereich.

$\mathsf{x^2=x+2}$ — gleichsetzen.

$\mathsf{x^2-x-2=0}$ — auf eine Seite.

$\mathsf{(x-2)(x+1)=0}$ — faktorisieren.

$\mathsf{x=2\ \textsf{oder}\ x=-1}$ — Nullprodukt.

$\mathsf{f(2)=4,\ g(2)=4}$ — erster Punkt.

$\mathsf{f(-1)=1,\ g(-1)=1}$ — zweiter Punkt.

Erklärung 02

Mehrere Lösungen und Berührung

Einer quadratischen Gleichung können zwei, eine oder keine reellen Lösungen entsprechen. Eine doppelte Lösung kann zu einer Berührung gehören.

Bei f(x)=x² und g(x)=0 ist (0|0) ein gemeinsamer Punkt, obwohl die Parabel die Gerade dort nicht kreuzt. „Schnittpunkt“ wird hier als gemeinsamer Punkt verstanden.

Erklärung 03

Nenner und nicht äquivalente Schritte

Beim Multiplizieren mit einem Nenner müssen dessen Nullstellen ausgeschlossen bleiben. Durch Kürzen entstehen keine neuen zulässigen Eingaben.

Quadrieren kann zusätzliche Lösungen erzeugen. Prüfe deshalb Kandidaten in der ursprünglichen Gleichung, besonders bei Wurzeln.

So geht es am Beispiel

Schneide f(x)=√x mit g(x)=−1.

$\mathsf{x\ge0}$ — Bereich.

$\mathsf{\sqrt{x}=-1}$ — Gleichsetzen.

Die linke Seite ist nichtnegativ; die rechte negativ.

Quadrieren würde x=1 liefern, aber $\mathsf{\sqrt1=1\ne-1}$ .

Erklärung 04

Probe und Reichweite der Methode

Die Anzahl von Schnittpunkten ist bei allgemeinen Funktionen nicht auf zwei begrenzt. Eine konkrete Gleichung kann andere Verfahren oder Näherungen benötigen.

Die folgenden Aufgaben beschränken sich auf einfache Polynome, Brüche und Wurzeln. Ein Graph unterstützt die Rechnung, ersetzt aber nicht die Bereichs- und Wertprobe.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schnittpunkte zweier Funktionen · GrundlagenSchneide f(x)=x² mit g(x)=4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm2}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(\pm2)=4=g(\pm2)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(−2|4),(2|4).
02
Aufgabe 2Schnittpunkte zweier Funktionen · GrundlagenSchneide f(x)=x² mit g(x)=2x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-2x=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-2)=0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0\ \textsf{oder}\ x=2}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=0\ \textsf{beziehungsweise}\ 4}$ — in beide einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(0|0),(2|4).
03
Aufgabe 3Schnittpunkte zweier Funktionen · GrundlagenSchneide f(x)=x²+1 mit g(x)=0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+1\ge1}$ für alle reellen x.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Gleichheit mit 0 ist unmöglich.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKeine reellen Schnittpunkte.
04
Aufgabe 4Schnittpunkte zweier Funktionen · AnwendenSchneide f(x)=(x−1)² mit g(x)=0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-1)^2=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=0=g(1)}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisEin gemeinsamer Berührpunkt (1|0).
05
Aufgabe 5Schnittpunkte zweier Funktionen · AnwendenSchneide f(x)=1/x mit g(x)=x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne0}$ — Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1/x=x}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=x^2}$ — mit x multiplizieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm1}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1,\ f(-1)=-1}$ — Probe mit g.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(−1|−1),(1|1).
06
Aufgabe 6Schnittpunkte zweier Funktionen · AnwendenSchneide f(x)=(x²−1)/(x−1) mit g(x)=2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne1}$ — ursprünglicher Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+1}$ nur für x≠1.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+1=2\Rightarrow x=1}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  x=1 ist ausgeschlossen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKein Schnittpunkt.
07
Aufgabe 7Schnittpunkte zweier Funktionen · AnwendenSchneide f(x)=√x mit g(x)=x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ge0}$ — Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt{x}=x}$ — beide Seiten nichtnegativ.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=x^2}$ — quadrieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-1)=0}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0\ \textsf{oder}\ x=1}$ .
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt0=0,\ \sqrt1=1}$ — Originalprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(0|0),(1|1).
08
Aufgabe 8Schnittpunkte zweier Funktionen · VertiefenSchneide f(x)=x³ mit g(x)=x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^3-x=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x^2-1)=0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-1)(x+1)=0}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-1,0,1}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^3=x}$ an allen drei Stellen — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(−1|−1),(0|0),(1|1).
09
Aufgabe 9Schnittpunkte zweier Funktionen · VertiefenMarkiere beide gemeinsamen Punkte der gegebenen Graphen x² und x+2. Bestätige sie durch Gleichsetzen und y-Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x^2-x-2=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(x-2)(x+1)=0}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{x=2,-1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{y=4,1}$ — in beiden Funktionen.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung(−1|1),(2|4).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe den gemeinsamen Definitionsbereich.
Ich unterscheide x=0 und y=0.
Ich nenne vollständige Punkte und prüfe beide y-Werte.

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