Schnittpunkte und Winkel · Erklären & üben

Schnittwinkel berechnen

Zwei sich schneidende Geraden bilden zwei verschiedene Winkelgrößen, die sich zu 180° ergänzen. Als Schnittwinkel verwenden wir hier den kleineren, also einen Winkel zwischen 0° und 90°.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Winkelgröße ist gemeint?

Der kleinere Schnittwinkel ist nichtnegativ. Für rechtwinklige Geraden beträgt er 90°. Bei parallelen oder identischen Geraden beträgt der Winkel zwischen den Richtungen 0°; verschiedene parallele Geraden haben jedoch keinen Schnittpunkt.

Der Achsenabschnitt beeinflusst die Lage einer Geraden, aber nicht ihre Richtung. Für den Winkel sind daher die Steigungen maßgeblich.

Geraden y = 0 und y = x mit markiertem kleinerem Winkel 45 Grad; gleich skalierte Achsen.

Erklärung 02

Formel für zwei endliche Steigungen

Für y = m₁x+b₁ und y = m₂x+b₂ gilt, wenn 1+m₁m₂ ≠ 0: $\mathsf{\alpha=\arctan\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|}$ . Der Betrag und der Hauptwert von arctan liefern den kleineren Winkel.

Der Taschenrechner muss im Gradmaß stehen, wenn das Ergebnis in Grad gefragt ist. Runde erst am Ende.

So geht es am Beispiel

Bestimme den kleineren Schnittwinkel von y = x+2 und y = 3x−1.

\mathsf{m_1=1,\quad m_2=3}

\mathsf{\left|\frac{3-1}{1+1\cdot3}\right|=\frac12}

\mathsf{\alpha=\arctan(1/2)}

\mathsf{\alpha\approx26{,}57^\circ}

Erklärung 03

Rechter Winkel und senkrechte Gerade

Ist m₁m₂ = −1, sind die Geraden orthogonal. Dann ist 1+m₁m₂ = 0 und die Bruchformel darf nicht ausgewertet werden. Das Ergebnis ist direkt 90°.

Eine senkrechte Gerade x = c hat keine endliche Steigung. Mit einer nichtsenkrechten Geraden der Steigung m bildet sie den kleineren Winkel $\mathsf{\alpha=90^\circ-|\arctan m|}$ . Zwei senkrechte Geraden haben dieselbe Richtung.

Alternativ können Richtungsvektoren verwendet werden: Für u und v ungleich Null gilt $\mathsf{\cos\alpha=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}}$ . Der Betrag wählt ebenfalls den kleineren Winkel.

Geraden y = minus x und y = x mit markiertem rechten Winkel; Produkt der Steigungen minus 1.

So geht es am Beispiel

Berechne den Schnittwinkel von x = 2 und y = x−3.

\mathsf{\arctan(1)=45^\circ}

\mathsf{\alpha=90^\circ-45^\circ}

\mathsf{\alpha=45^\circ}

Erklärung 04

Bei Kurven zählen die Tangenten am Schnittpunkt

Bei differenzierbaren Funktionsgraphen wird der Schnittwinkel durch ihre Tangenten im betrachteten Schnittpunkt definiert. Berechne zunächst eine Schnittstelle x₀ und dann m₁ = f′(x₀), m₂ = g′(x₀).

Mehrere Schnittpunkte können verschiedene Winkel besitzen. Gleiche Tangentensteigungen liefern den Winkel 0°, auch wenn die Graphen lokal zusammenkommen.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Schnittwinkel von f(x) = x² und g(x) = x.

\mathsf{x^2=x}

\mathsf{x(x-1)=0}

\mathsf{x_0=0\quad ext{oder}\quad x_0=1}

\mathsf{f^{\prime}(x)=2x,\quad g^{\prime}(x)=1}

Bei 0: Steigungen 0 und 1.

\mathsf{\alpha_0=\arctan(1)=45^\circ}

Bei 1: Steigungen 2 und 1.

\mathsf{\alpha_1=\arctan\left|\frac{1-2}{1+2}\right|}

\mathsf{\alpha_1\approx18{,}43^\circ}

Erklärung 05

Zeichnung und Rechnung verbinden

Eine Skizze hilft, den kleineren Winkel zu markieren. Für eine unverzerrte Winkelansicht müssen beide Achsen denselben Maßstab haben.

Bei fast parallelen Geraden ist der kleinere Winkel klein. Bei einer negativen und einer positiven Steigung kann trotzdem der kleinere Winkel deutlich unter 90° liegen; die Vorzeichen allein bestimmen ihn nicht.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schnittwinkel berechnen · EinstiegBerechne den kleineren Schnittwinkel zwischen y = 0 und y = x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m_1=0,\quad m_2=1}$
  $\mathsf{\alpha=\arctan|1/1|}$
  $\mathsf{\alpha=45^\circ}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis45°.
02
Aufgabe 2Schnittwinkel berechnen · EinstiegBerechne den kleineren Schnittwinkel zwischen y = 2x+1 und y = −x/2+4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m_1m_2=2\cdot(-1/2)=-1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Steigungen sind negative Kehrwerte; die Geraden sind orthogonal.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{\alpha=90^\circ}$ ; kein Einsetzen in einen Bruch mit Nenner 0.
03
Aufgabe 3Schnittwinkel berechnen · StandardBerechne den kleineren Winkel zwischen y = x und y = 2x. Runde auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\tan\alpha=\left|\frac{2-1}{1+2}\right|=\frac13}$
  $\mathsf{\alpha=\arctan(1/3)}$
  $\mathsf{\alpha\approx18{,}43^\circ}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisUngefähr 18,43°.
04
Aufgabe 4Schnittwinkel berechnen · StandardBerechne den kleineren Winkel zwischen y = 2x und y = −2x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\left|\frac{-2-2}{1-4}\right|=\frac43}$
  $\mathsf{\alpha=\arctan(4/3)}$
  $\mathsf{\alpha\approx53{,}13^\circ}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisUngefähr 53,13°; der ergänzende Winkel beträgt ungefähr 126,87°.
05
Aufgabe 5Schnittwinkel berechnen · StandardWelchen Winkel bilden x = −1 und y = 3?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  x = −1 ist senkrecht, y = 3 waagerecht.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Geraden stehen rechtwinklig aufeinander.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis90°; Schnittpunkt (−1 | 3).
06
Aufgabe 6Schnittwinkel berechnen · StandardBerechne den kleineren Winkel zwischen x = 4 und y = −x+2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\arctan(-1)=-45^\circ}$
  $\mathsf{\alpha=90^\circ-|-45^\circ|}$
  $\mathsf{\alpha=45^\circ}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis45°.
07
Aufgabe 7Schnittwinkel berechnen · StandardBeurteile y = 3x+1 und y = 3x−4: Schnittpunkt und Richtungswinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Steigungen sind 3, die Achsenabschnitte verschieden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Geraden sind parallel und verschieden.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisKein Schnittpunkt; der kleinere Winkel zwischen den Richtungen beträgt 0°.
08
Aufgabe 8Schnittwinkel berechnen · Vertiefungf(x) = x² und g(x) = 2x schneiden sich bei x = 0 und x = 2. Berechne den Winkel am Punkt (2 | 4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=2}$
  $\mathsf{m_1=4,\quad m_2=2}$
  $\mathsf{\tan\alpha=\left|\frac{2-4}{1+8}\right|=\frac29}$
  $\mathsf{\alpha=\arctan(2/9)}$
  $\mathsf{\alpha\approx12{,}53^\circ}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisUngefähr 12,53° am Schnittpunkt (2 | 4).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende den kleineren Winkel zwischen 0° und 90°.
Ich behandle rechte Winkel und senkrechte Geraden gesondert.
Bei Kurven nutze ich die Tangentensteigungen am richtigen Schnittpunkt.

AT Academy · Version 2026-10-21