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Schnittpunkte und Winkel · Erklären & üben

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel beschreibt die Richtung einer nichtsenkrechten Geraden relativ zur positiven x-Richtung. Seine Tangensfunktion ist die Steigung. Eine klare Winkelkonvention verhindert Vorzeichenfehler.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Unsere Winkelkonvention

Wir verwenden den vorzeichenbehafteten Steigungswinkel β = arctan m im Intervall (−90°; 90°). Eine steigende Gerade hat β > 0, eine fallende β < 0, eine waagerechte β = 0.

Der Winkel wird zur nach rechts gerichteten Geradenrichtung gemessen: gegen den Uhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Einige Aufgaben verwenden stattdessen einen Neigungswinkel in [0°; 180°). Bei einer fallenden Geraden erhält man ihn durch Addition von 180° zum negativen Hauptwert.

Diese beiden Schreibweisen beschreiben dieselbe ungerichtete Gerade. Lies deshalb die verlangte Orientierung genau.

Erklärung 02

Aus der Steigung den Winkel berechnen

Im Steigungsdreieck gilt m = Δy/Δx und tan β = m. Also β=arctan⁡(m)\mathsf{\beta=\arctan(m)}. Für Gradangaben wird der Taschenrechner auf DEG gestellt.

Die Umkehrfunktion arctan ist nicht der Kehrwert 1/tan. Falls dein Rechner den Winkel im Bogenmaß liefert, rechne mit 180°/π in Grad um.

Gerade y = x/2 mit Steigungsdreieck: zwei Einheiten nach rechts und eine nach oben; Winkel positiv gegen den Uhrzeigersinn.

So geht es am Beispiel

Eine Gerade hat m = 0,5. Berechne ihren Steigungswinkel.

β=arctan⁡(0,5)\mathsf{\beta=\arctan(0{,}5)}
β≈26,57∘\mathsf{\beta\approx26{,}57^\circ}

Ergebnis

Der Steigungswinkel ist ungefähr +26,57°. Die Gerade steigt nach rechts.

Erklärung 03

Fallende Geraden behalten das Vorzeichen

Für m < 0 ist der Hauptwert von arctan negativ. Er ist nicht automatisch der kleinere Winkel mit einer anderen Geraden. Der Steigungswinkel und der kleinere Schnittwinkel erfüllen verschiedene Aufgaben.

Gerade y = minus x mit negativem Winkel von der positiven x-Richtung im Uhrzeigersinn; gleich skalierte Achsen.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Steigungswinkel zu y = −x+4.

m=−1\mathsf{m=-1}
β=arctan⁡(−1)\mathsf{\beta=\arctan(-1)}
β=−45∘\mathsf{\beta=-45^\circ}

γ=−45∘+180∘=135∘\mathsf{\gamma=-45^\circ+180^\circ=135^\circ} — alternative Konvention.

Ergebnis

Nach unserer Konvention −45°; als Neigungswinkel in [0°; 180°) sind es 135°. Der kleinere Winkel zur x-Achse ist 45°.

Erklärung 04

Vom Winkel zur Steigung

Ist der Winkel β gegeben, berechnest du m = tan β. Zusammen mit einem Punkt ergibt sich eine Geradengleichung. Der Winkel allein bestimmt nur die Richtung, nicht den Achsenabschnitt.

So geht es am Beispiel

Eine Gerade hat β = 30° und verläuft durch P(0 | 2).

m=tan⁡(30∘)\mathsf{m=\tan(30^\circ)}
m=13\mathsf{m=\frac1{\sqrt3}}
b=2\mathsf{b=2}
y=13x+2\mathsf{y=\frac1{\sqrt3}x+2}

Ergebnis

Die Steigung ist ungefähr 0,577; die exakte Geradengleichung verwendet 1/√3.

Erklärung 05

Prozentangaben und senkrechter Sonderfall

Eine Steigung von p Prozent bedeutet m = p/100. Sie ist nicht dasselbe wie ein Winkel von p Grad. Beispielsweise entsprechen 100 Prozent der Steigung m = 1 und damit 45°.

Eine senkrechte Gerade x = c hat keine endliche Steigung. Ihr Neigungswinkel kann mit 90° beschrieben werden, aber nicht durch Einsetzen einer endlichen Zahl in arctan. Der Tangens ist bei 90° nicht definiert.

Ein maßstäbliches Steigungsdreieck verwendet waagerechte und senkrechte Strecken in derselben Längeneinheit. Unterschiedliche Achsenskalierungen verzerren den im Bild sichtbaren Winkel.

So geht es am Beispiel

Eine Rampe steigt um 0,6 m auf 5 m waagerechter Strecke. Berechne m, Prozentsteigung und Winkel.

m=0,6/5=0,12\mathsf{m=0{,}6/5=0{,}12}

p=100⋅0,12=12\mathsf{p=100\cdot0{,}12=12} — Prozent.

β=arctan⁡(0,12)\mathsf{\beta=\arctan(0{,}12)}
β≈6,84∘\mathsf{\beta\approx6{,}84^\circ}

Ergebnis

Die Rampe hat 12 Prozent Steigung und einen Winkel von ungefähr 6,84°. Die 5 m sind die waagerechte Strecke, nicht die schräge Rampenlänge.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Steigungswinkel · EinstiegBestimme den vorzeichenbehafteten Steigungswinkel für m = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      β=arctan⁡(1)\mathsf{\beta=\arctan(1)}
      β=45∘\mathsf{\beta=45^\circ}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis45°.
  2. Aufgabe 2Steigungswinkel · EinstiegBestimme den vorzeichenbehafteten Steigungswinkel für m = −√3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      β=arctan⁡(−3)\mathsf{\beta=\arctan(-\sqrt3)}
      β=−60∘\mathsf{\beta=-60^\circ}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis−60°; alternativ 120° in der Konvention [0°; 180°).
  3. Aufgabe 3Steigungswinkel · StandardEine Gerade enthält P(0 | 1) und Q(4 | 3). Berechne ihren Steigungswinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=(3−1)/(4−0)=0,5\mathsf{m=(3-1)/(4-0)=0{,}5}
      β=arctan⁡(0,5)\mathsf{\beta=\arctan(0{,}5)}
      β≈26,57∘\mathsf{\beta\approx26{,}57^\circ}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisUngefähr 26,57°.
  4. Aufgabe 4Steigungswinkel · StandardBerechne die Steigung für β = −30°.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=tan⁡(−30∘)\mathsf{m=\tan(-30^\circ)}
      m=−13\mathsf{m=-\frac1{\sqrt3}}
      m≈−0,577\mathsf{m\approx-0{,}577}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Gerade fällt; m = −1/√3.
  5. Aufgabe 5Steigungswinkel · StandardEine Straße hat im Modell 8 Prozent Steigung. Berechne den Winkel auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=8/100=0,08\mathsf{m=8/100=0{,}08}
      β=arctan⁡(0,08)\mathsf{\beta=\arctan(0{,}08)}
      β≈4,57∘\mathsf{\beta\approx4{,}57^\circ}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisUngefähr 4,57°, nicht 8°.
  6. Aufgabe 6Steigungswinkel · StandardEine Person sagt: „100 Prozent Steigung bedeutet senkrecht.“ Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=100/100=1\mathsf{m=100/100=1}
      β=arctan⁡(1)=45∘\mathsf{\beta=\arctan(1)=45^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Senkrecht wäre ein Winkel von 90° ohne endliche Steigung.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis100 Prozent entsprechen 45°.
  7. Aufgabe 7Steigungswinkel · StandardBestimme den Steigungswinkel von y = −2x+3 und gib auch den Neigungswinkel in [0°; 180°) an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      β=arctan⁡(−2)\mathsf{\beta=\arctan(-2)}
      β≈−63,43∘\mathsf{\beta\approx-63{,}43^\circ}
      γ=180∘+β\mathsf{\gamma=180^\circ+\beta}
      γ≈116,57∘\mathsf{\gamma\approx116{,}57^\circ}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisHauptwert ungefähr −63,43°; alternative Neigung ungefähr 116,57°.
  8. Aufgabe 8Steigungswinkel · VertiefungEine Gerade hat β = 45° und geht durch P(2 | 5). Bestimme ihre Gleichung und prüfe den Punkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=tan⁡45∘=1\mathsf{m=\tan45^\circ=1}
      y=1(x−2)+5\mathsf{y=1(x-2)+5}
      y=x+3\mathsf{y=x+3}
      2+3=5\mathsf{2+3=5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=x+3\mathsf{y=x+3}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich nenne die Winkelkonvention und beachte das Vorzeichen.
  • Ich rechne im passenden Winkelmaß.
  • Ich unterscheide Prozentsteigung und Gradangabe.
  • Ich behandle senkrechte Geraden ohne endliche Steigung.

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