Dreiecke berechnen · Erklären & üben

Schwerpunkt Dreieck

Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Für eine gleichmäßig dicke Dreiecksplatte aus homogenem Material ist er zugleich ihr Balancepunkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ecke mit Seitenmitte verbinden

Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie ist nicht allgemein senkrecht zu dieser Seite. Konstruiere zwei Seitenmitten und verbinde sie mit den jeweils gegenüberliegenden Ecken; der Schnittpunkt ist $\mathsf{S}$ . Auch die dritte Seitenhalbierende geht durch ihn.

Bestimme zwei Seitenmittelpunkte.
Verbinde jeden Mittelpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt.

$\mathsf{S\textsf{ liegt auf allen drei Seitenhalbierenden}}$

Ecken mit den gegenüberliegenden Seitenmitten verbinden

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ , $\mathsf{C(0|6)}$ . Beschreibe zwei Seitenhalbierende und ihren Schnittpunkt.

Der Mittelpunkt von $\mathsf{BC}$ ist $\mathsf{(3|3)}$ ; verbinde ihn mit $\mathsf{A}$ .

Der Mittelpunkt von $\mathsf{AC}$ ist $\mathsf{(0|3)}$ ; verbinde ihn mit $\mathsf{B}$ .

Beide Strecken schneiden sich in $\mathsf{S(2|2)}$ .

Erklärung 02

Das Verhältnis zwei zu eins

Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis zwei zu eins. Das längere Teilstück liegt am Eckpunkt. Mit Seitenmittelpunkt $\mathsf{M_a}$ gilt $\mathsf{AS=\frac23AM_a}$ und $\mathsf{SM_a=\frac13AM_a}$ . Der Schwerpunkt liegt immer im Inneren eines nicht entarteten Dreiecks.

Ordne zuerst Eckpunkt und Seitenmittelpunkt zu.
Teile die gesamte Seitenhalbierende in drei gleiche Teile.

$\mathsf{AS:SM_a=2:1}$

So geht es am Beispiel

Eine Seitenhalbierende ist $\mathsf{9\,\mathsf{cm}}$ lang. Bestimme die beiden Teilstücke am Schwerpunkt.

\mathsf{AS=\frac23\cdot9\,\mathsf{cm}=6\,\mathsf{cm}}

\mathsf{SM_a=\frac13\cdot9\,\mathsf{cm}=3\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Koordinaten mitteln

Die Schwerpunktkoordinaten sind die Mittelwerte der drei Eckpunktkoordinaten. Beim gleichschenkligen Dreieck liegt $\mathsf{S}$ auf der Symmetrieachse. Beim gleichseitigen Dreieck fallen Schwerpunkt, Umkreis- und Inkreismittelpunkt sowie Höhenschnittpunkt zusammen. Bei anderen Dreiecken gilt das nicht allgemein.

Addiere die drei x-Koordinaten und teile durch drei.
Verfahre genauso mit den y-Koordinaten.

$\mathsf{S\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\middle|\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)}$

So geht es am Beispiel

Berechne den Schwerpunkt von $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(7|1)}$ und $\mathsf{C(4|7)}$ .

\mathsf{x_S=\frac{1+7+4}{3}=4}

\mathsf{y_S=\frac{1+1+7}{3}=3}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schwerpunkt Dreieck · basisEine Seitenhalbierende ist $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$ lang. Bestimme den Abstand vom Eckpunkt zum Schwerpunkt und vom Schwerpunkt zur Seitenmitte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eckpunkt bis Schwerpunkt
Schwerpunkt bis Seitenmitte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac23\cdot12\,\mathsf{cm}=8\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{\frac13\cdot12\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eckpunkt bis Schwerpunkt $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$
2. Schwerpunkt bis Seitenmitte $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Schwerpunkt Dreieck · standardBerechne den Schwerpunkt von $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(9|0)}$ und $\mathsf{C(0|6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schwerpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_S=(0+9+0)/3=3}$
  $\mathsf{y_S=(0+0+6)/3=2}$
Ergebnis
1. Schwerpunkt $\mathsf{S(3|2)}$
03
Aufgabe 3Schwerpunkt Dreieck · standardBerechne den Schwerpunkt von $\mathsf{A(-2|1)}$ , $\mathsf{B(4|1)}$ und $\mathsf{C(1|7)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schwerpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_S=(-2+4+1)/3=1}$
  $\mathsf{y_S=(1+1+7)/3=3}$
Ergebnis
1. Schwerpunkt $\mathsf{S(1|3)}$
04
Aufgabe 4Schwerpunkt Dreieck · standardZeichne im Rasterdreieck $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ , $\mathsf{C(0|6)}$ zwei Seitenhalbierende ein. Markiere ihre zugehörigen Seitenmittelpunkte und den Schwerpunkt $\mathsf{S}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schwerpunktzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Schwerpunktzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Seitenmittelpunkte von $\mathsf{BC}$ und $\mathsf{AC}$ sind $\mathsf{(3|3)}$ und $\mathsf{(0|3)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verbinde sie mit A beziehungsweise B.
  $\mathsf{S(2|2)}$
Ergebnis
1. SchwerpunktzeichnungSeitenhalbierende von $\mathsf{A}$ nach $\mathsf{(3|3)}$ und von $\mathsf{B}$ nach $\mathsf{(0|3)}$ ; $\mathsf{S(2|2)}$ .
05
Aufgabe 5Schwerpunkt Dreieck · transferEin gleichseitiges Dreieck hat Höhe $\mathsf{9\,\mathsf{cm}}$ . Wie weit liegt der Schwerpunkt von der Grundseite entfernt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abstand zur Grundseite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Höhe ist hier zugleich Seitenhalbierende. Der kürzere Abschnitt liegt zwischen Schwerpunkt und Grundseite.
  $\mathsf{d=\frac13\cdot9\,\mathsf{cm}=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Abstand zur Grundseite $\mathsf{d=3\,\mathsf{cm}}$
06
Aufgabe 6Schwerpunkt Dreieck · transferEine gleichmäßig dicke Dreiecksplatte aus demselben Material wird im geometrischen Schwerpunkt unterstützt. Danach klebt man ein schweres Gewicht an eine Ecke. Bleibt der geometrische Schwerpunkt sicher der Balancepunkt? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die geometrischen Eckpunkte und Seitenhalbierenden bleiben gleich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zusätzliche Masse verändert jedoch die Massenverteilung.
Ergebnis
1. BegründungNein. Der geometrische Schwerpunkt bleibt derselbe, der Massenschwerpunkt verschiebt sich zur zusätzlich belasteten Ecke.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verbinde eine Ecke mit der gegenüberliegenden Seitenmitte.
Ich ordne den längeren Abschnitt des Verhältnisses 2:1 dem Eckpunkt zu.
Ich berechne beide Schwerpunktkoordinaten als Mittelwerte.

AT Academy · Version 2026-10-21