Dreiecke berechnen · Erklären & üben

Mittelsenkrechte Dreieck

Die Mittelsenkrechte einer Seite geht durch deren Mittelpunkt und steht senkrecht auf ihr. Ihre Punkte haben zu beiden Endpunkten denselben Abstand. Im Dreieck führen die Mittelsenkrechten zum Umkreis.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Mittelsenkrechte konstruieren

Schlage um die beiden Endpunkte zwei Kreisbögen mit demselben Radius, der größer als die halbe Seitenlänge ist. Verbinde die beiden Schnittpunkte der Bögen. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte. Sie muss nicht durch den gegenüberliegenden Dreieckseckpunkt gehen; das unterscheidet sie von einer Höhe.

Wähle denselben ausreichend großen Zirkelradius an beiden Endpunkten.
Verbinde die beiden Bogenschnittpunkte mit dem Lineal.

$\mathsf{PA=PB\quad\Longleftrightarrow\quad P\textsf{ liegt auf der Mittelsenkrechten von }AB}$

Gleicher Zirkelradius an beiden Endpunkten

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A(0|0)}$ und $\mathsf{B(6|0)}$ sind gegeben. Beschreibe ihre Mittelsenkrechte.

Der Mittelpunkt ist $\mathsf{M(3|0)}$ .

Die Seite ist waagerecht; ihre Mittelsenkrechte ist senkrecht.

Erklärung 02

Der Umkreismittelpunkt

Der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten heißt Umkreismittelpunkt $\mathsf{O}$ . Er ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt, denn $\mathsf{OA=OB}$ und $\mathsf{OB=OC}$ . Deshalb geht auch die dritte Mittelsenkrechte durch ihn. Der Umkreis hat Mittelpunkt $\mathsf{O}$ und Radius $\mathsf{R=OA}$ .

Konstruiere die Mittelsenkrechten von zwei Seiten.
Zeichne um ihren Schnittpunkt einen Kreis durch einen Eckpunkt.

$\mathsf{OA=OB=OC=R}$

So geht es am Beispiel

Bestimme den Umkreis für $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ , $\mathsf{C(0|8)}$ .

Die Mittelsenkrechten von $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{AC}$ sind $\mathsf{x=3}$ und $\mathsf{y=4}$ .

\mathsf{O(3|4)}

\mathsf{R=\sqrt{3^2+4^2}=5}

Erklärung 03

Innen, auf dem Rand oder außen

Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innen. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist er der Mittelpunkt der Hypotenuse. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt er außen. Ein Standort, der zu drei nicht auf einer Geraden liegenden Orten gleich weit entfernt sein soll, ist ihr Umkreismittelpunkt. Das bedeutet gleiche Luftlinienentfernung, nicht gleiche Fahrzeit.

Bestimme den Dreieckstyp.
Lasse auch einen außenliegenden Schnittpunkt zu.

$\mathsf{R=\frac{\textsf{Hypotenuse}}2\quad\textsf{beim rechtwinkligen Dreieck}}$

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(8|0)}$ , $\mathsf{C(2|2)}$ wurde $\mathsf{O(4|-2)}$ gefunden. Prüfe den gleichen Abstand.

\mathsf{OA^2=4^2+(-2)^2=20}

\mathsf{OB^2=(-4)^2+(-2)^2=20}

\mathsf{OC^2=2^2+(-4)^2=20}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Mittelsenkrechte Dreieck · basisEine Strecke $\mathsf{AB}$ ist $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$ lang. Wie weit liegt ihr Mittelpunkt von $\mathsf{A}$ entfernt, und in welchem Winkel schneidet die Mittelsenkrechte die Strecke?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abstand AM
Schnittwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{AM=8:2\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Strecke.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Abstand AM $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$
2. Schnittwinkel $\mathsf{90^\circ}$
02
Aufgabe 2Mittelsenkrechte Dreieck · standardGegeben sind $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ und $\mathsf{P(3|4)}$ . Berechne $\mathsf{PA}$ und $\mathsf{PB}$ und entscheide, ob $\mathsf{P}$ auf der Mittelsenkrechten liegt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abstand PA
Abstand PB
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{PA=\sqrt{3^2+4^2}=5}$
  $\mathsf{PB=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die gleichen Abstände erfüllen die Kennzeichnung der Mittelsenkrechten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Abstand PA $\mathsf{PA=5}$
2. Abstand PB $\mathsf{PB=5}$
3. EntscheidungJa, P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB.
03
Aufgabe 3Mittelsenkrechte Dreieck · standardEin rechtwinkliges Dreieck hat Seiten $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme den Umkreisradius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die längste Seite ist die Hypotenuse; ihr Mittelpunkt ist der Umkreismittelpunkt.
  $\mathsf{R=5:2\,\mathsf{cm}=2{,}5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Umkreisradius $\mathsf{R=2{,}5\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Mittelsenkrechte Dreieck · standardIm Raster sind $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ , $\mathsf{C(0|4)}$ gegeben. Zeichne die Mittelsenkrechten von $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{AC}$ , markiere ihren Schnittpunkt $\mathsf{O}$ und zeichne den Umkreis. Eine Einheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umkreiszeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Umkreiszeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Mittelpunkte sind $\mathsf{(3|0)}$ und $\mathsf{(0|2)}$ . Die zugehörigen Senkrechten haben Gleichungen $\mathsf{x=3}$ und $\mathsf{y=2}$ .
  $\mathsf{O(3|2),\qquad R=\sqrt{13}\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Stelle den Zirkel auf den Abstand von O zu A ein.
Ergebnis
1. UmkreiszeichnungMittelsenkrechten $\mathsf{x=3}$ und $\mathsf{y=2}$ ; $\mathsf{O(3|2)}$ ; Kreis durch $\mathsf{A,B,C}$ .
05
Aufgabe 5Mittelsenkrechte Dreieck · transferEine Schülerin erhält bei einem stumpfwinkligen Dreieck einen Umkreismittelpunkt außerhalb der Figur. Muss ihre Konstruktion falsch sein? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Entscheidend sind die gleichen Abstände zu allen drei Eckpunkten.
Ergebnis
1. BegründungNein. Ein außenliegender Mittelpunkt ist bei einem stumpfwinkligen Dreieck richtig.
06
Aufgabe 6Mittelsenkrechte Dreieck · transferDrei Standorte liegen bei $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(6|0)}$ und $\mathsf{C(0|8)}$ , Koordinaten in Kilometern. Ein Funkmast soll zu allen dieselbe Luftlinienentfernung haben. Bestimme Standort und Abstand.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Standort
Abstand
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Mittelsenkrechten $\mathsf{x=3}$ und $\mathsf{y=4}$ schneiden sich in $\mathsf{O(3|4)}$ .
  $\mathsf{R=\sqrt{3^2+4^2}\,\mathsf{km}=5\,\mathsf{km}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Standort $\mathsf{O(3|4)}$
2. Abstand $\mathsf{R=5\,\mathsf{km}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Mittelsenkrechte, Höhe und Seitenhalbierende.
Ich konstruiere den Umkreis aus zwei Mittelsenkrechten.
Ich kann die Lage des Umkreismittelpunkts erklären.

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