Sigma Regeln Mathe

Erklärung 01

Die drei Bereiche des Normalmodells

1. 1

   Prüfe das Normalmodell.

2. 2

   Lies Erwartungswert und Standardabweichung ab.

3. 3

   Wähle den passenden Sigma-Bereich.

$\mathsf{P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\approx68{,}3\%,\ 95{,}4\%,\ 99{,}7\%\quad(k=1,2,3)}$

Erklärung 02

Randbereiche durch Symmetrie bestimmen

1. 1

   Ergänze den zentralen Anteil auf 100 Prozent.

2. 2

   Halbiere die Restwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Rand.

$\mathsf{P(X>\mu+2\sigma)\approx\frac{100\%-95{,}4\%}{2}=2{,}3\%}$

Erklärung 03

Binomialmodell näherungsweise vergleichen

1. 1

   Prüfe die Binomialvoraussetzungen.

2. 2

   Berechne Erwartungswert und Standardabweichung.

3. 3

   Kennzeichne die Normalrechnung ausdrücklich als Näherung.

$\mathsf{\mu=np,\qquad\sigma=\sqrt{np(1-p)}}$

1. 01
   Aufgabe 1Sigma Regeln Mathe · EinstiegX ist normalverteilt mit Erwartungswert 80 und Standardabweichung 6. Bestimme die Grenzen des Ein-Sigma-Intervalls und den ungefähren Anteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Untere Grenze

   Obere Grenze

   Ungefährer Anteil
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{80-6=74}$$

      $$\mathsf{80+6=86}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Ein-Sigma-Regel liefert ungefähr 68,3 Prozent.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Untere Grenze
      74
   2. Obere Grenze
      86
   3. Ungefährer Anteil
      68,3 Prozent
2. 02
   Aufgabe 2Sigma Regeln Mathe · EinstiegEine Länge ist normalverteilt mit Erwartungswert 120 mm und Standardabweichung 2 mm. Gib das Drei-Sigma-Intervall und den ungefähren Anteil an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Untere Grenze

   Obere Grenze

   Ungefährer Anteil
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{120-3\cdot2=114}$$

      $$\mathsf{120+3\cdot2=126}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Drei-Sigma-Regel liefert ungefähr 99,7 Prozent.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Untere Grenze
      114 mm
   2. Obere Grenze
      126 mm
   3. Ungefährer Anteil
      99,7 Prozent
3. 03
   Aufgabe 3Sigma Regeln Mathe · ÜbungIn der Vorlage ist eine Normaldichte mit Erwartungswert 20 Sekunden und Standardabweichung 2 Sekunden eingezeichnet. Schraffiere den Zwei-Sigma-Bereich und beschrifte seine Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Schraffierter Bereich

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Schraffierter Bereich
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zwei Standardabweichungen entsprechen 4 Sekunden.

      $$\mathsf{20-4=16}$$

      $$\mathsf{20+4=24}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Schraffiert wird die Fläche unter der Kurve zwischen 16 und 24 Sekunden.

   Ergebnis

   1. Schraffierter Bereich
      Grenzen 16 und 24 Sekunden; zentrale Fläche schraffiert.
4. 04
   Aufgabe 4Sigma Regeln Mathe · ÜbungX ist normalverteilt. Bestimme näherungsweise den Anteil außerhalb des Ein-Sigma-Bereichs und den Anteil oberhalb der oberen Ein-Sigma-Grenze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Außerhalb

   Oberhalb
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{100\%-68{,}3\%=31{,}7\%}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Aufgrund der Symmetrie liegt die Hälfte rechts.

      $$\mathsf{\frac{31{,}7\%}{2}=15{,}85\%}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Außerhalb
      Ungefähr 31,7 Prozent
   2. Oberhalb
      Ungefähr 15,85 Prozent
5. 05
   Aufgabe 5Sigma Regeln Mathe · TransferX zählt Erfolge in 200 unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0,5. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung. Prüfe die Faustregel sigma größer 3 und nenne die Grenzen der stetigkeitskorrigierten Normalnäherung für 86 bis 114 Erfolge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartungswert

   Standardabweichung

   Faustregel

   Korrigierte Untergrenze

   Korrigierte Obergrenze
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\mu=200\cdot0{,}5=100}$$

      $$\mathsf{\sigma=\sqrt{200\cdot0{,}5\cdot0{,}5}=\sqrt{50}\approx7{,}07}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Standardabweichung ist größer 3. Eine Normalnäherung ist nach der genannten Faustregel plausibel.

   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Für die eingeschlossenen ganzen Werte 86 bis 114 werden die Grenzen um 0,5 nach außen verschoben.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwartungswert
      100
   2. Standardabweichung
      $\mathsf{\sqrt{50}\approx7{,}07}$
   3. Faustregel
      Erfüllt; keine Genauigkeitsgarantie.
   4. Korrigierte Untergrenze
      85,5
   5. Korrigierte Obergrenze
      114,5
6. 06
   Aufgabe 6Sigma Regeln Mathe · TransferEine Zufallsvariable nimmt nur die Werte−1 und 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 an. Ihr Erwartungswert ist 0, ihre Standardabweichung 1. Jemand erwartet 68,3 Prozent im Ein-Sigma-Intervall. Prüfe die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Tatsächlicher Anteil

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Das Ein-Sigma-Intervall reicht von−1 bis 1.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Beide möglichen Werte liegen im geschlossenen Intervall.

      $$\mathsf{P(-1\leq X\leq1)=1}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Verteilung ist nicht normalverteilt. Deshalb ist die Sigma-Regel hier nicht anwendbar.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Tatsächlicher Anteil
      100 Prozent
   2. Begründung
      Die Variable ist diskret mit zwei Werten und nicht normalverteilt.