Zufallsvariablen · Erklären & üben

Dichtefunktion Übung

Hier prüfst und bestimmst du Dichten selbst. Du nutzt Rechtecke, Dreiecke und einfache Integrale, um Normierung, Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte nachvollziehbar zu berechnen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Fläche und Vorzeichen prüfen

Eine positive Gesamtfläche allein genügt nicht: Eine Dichte darf nirgends negativ sein. Außerhalb des angegebenen Bereichs wird sie in diesen Aufgaben gleich 0 gesetzt.

Prüfe das Vorzeichen im gesamten Bereich.
Berechne die Fläche.
Vergleiche sie mit 1.

$\mathsf{f(x)\geq0,\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1}$

So geht es am Beispiel

Eine Funktion ist von 0 bis 5 konstant 0,2 und sonst 0. Prüfe die Dichte.

Die Funktion ist überall nicht negativ.

\mathsf{5\cdot0{,}2=1}

Erklärung 02

Unbekannte Höhe bestimmen

Ein unbekannter Faktor wird durch die Gesamtfläche festgelegt. Bei einem geraden Graphen kann die Dreiecksfläche das Integral ersetzen.

Schreibe die Fläche mit der unbekannten Höhe auf.
Setze die Fläche gleich 1.
Prüfe das Vorzeichen des Ergebnisses.

$\mathsf{A_{\mathsf{Dreieck}}=\frac12\cdot g\cdot h}$

Fallende Dreiecksdichte von(0;0,5)bis(4;0).

So geht es am Beispiel

Eine Dichte fällt auf 0 bis 4 linear von der Höhe h auf 0. Bestimme h.

Die Grundseite des Dreiecks ist 4.

\mathsf{\frac12\cdot4\cdot h=1}

\mathsf{h=\frac12}

Erklärung 03

Teilflächen und Mittelwert

Wahrscheinlichkeiten sind Teilflächen der normierten Dichte. Für den Erwartungswert wird zusätzlich mit dem Wert selbst gewichtet. Bei asymmetrischen Dichten liegt der Erwartungswert nicht zwingend in der Intervallmitte.

Bestimme den passenden Integrationsbereich.
Integriere die Dichte für eine Wahrscheinlichkeit.
Integriere Wert mal Dichte für den Erwartungswert.

$\mathsf{P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx}$

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{f(x)=\frac{4-x}{8}}$ auf 0 bis 4 berechne die Wahrscheinlichkeit oberhalb 2 und den Erwartungswert.

Die rechte Teilfläche ist ein Dreieck mit Grundseite 2 und Höhe 0,25.

\mathsf{P(X>2)=\frac12\cdot2\cdot0{,}25=\frac14}

Für den Erwartungswert wird mit x gewichtet.

\mathsf{E(X)=\int_0^4\frac{4x-x^2}{8}\,dx=\left[\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{24}\right]_0^4=\frac43}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dichtefunktion Übung · EinstiegEine Funktion ist auf 0 bis 2 konstant 0,6 und sonst 0. Prüfe die beiden Dichtebedingungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nichtnegativität
Normierung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Alle Funktionswerte sind nicht negativ.
  $\mathsf{2\cdot0{,}6=1{,}2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Normierung ist verletzt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. NichtnegativitätErfüllt.
2. NormierungNicht erfüllt: Gesamtfläche 1,2.
02
Aufgabe 2Dichtefunktion Übung · EinstiegEine Dichte ist auf 1 bis 6 konstant c und sonst 0. Bestimme c und die Wahrscheinlichkeit für 2 bis 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstante
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5c=1}$
  $\mathsf{c=0{,}2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Teilintervall hat Breite 2.
  $\mathsf{P(2\leq X\leq4)=2\cdot0{,}2=0{,}4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Konstante $\mathsf{c=0{,}2}$
2. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{40\%}$
03
Aufgabe 3Dichtefunktion Übung · ÜbungEine Dichte steigt von 0 bei x=0 linear auf die Höhe 0,5 bei x=4 und ist sonst 0. Zeichne den Graphen und schraffiere die Fläche zwischen 0 und 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dichte und Teilfläche
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Dichte und Teilfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gerade verbindet die Punkte(0;0) und(4;0,5).
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei 2 beträgt die Höhe 0,25. Die gesuchte Fläche liegt links davon unter der Geraden.
Ergebnis
1. Dichte und TeilflächeGerade von(0;0) nach(4;0,5); außerhalb 0; Schraffur 0 bis 2.
04
Aufgabe 4Dichtefunktion Übung · ÜbungEs gilt $\mathsf{f(x)=\frac{x}{8}}$ für 0 bis 4 und sonst 0. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Integral oder die Dreiecksfläche liefert den Anteil.
  $\mathsf{P(0\leq X\leq2)=\int_0^2\frac{x}{8}\,dx=\left[\frac{x^2}{16}\right]_0^2=\frac14}$
Ergebnis
1. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{25\%}$
05
Aufgabe 5Dichtefunktion Übung · TransferEs gilt $\mathsf{f(x)=\frac{3-x}{4{,}5}}$ für 0 bis 3 und sonst 0. Berechne den Erwartungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gewichte die Dichte mit x.
  $\mathsf{E(X)=\int_0^3\frac{3x-x^2}{4{,}5}\,dx}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Setze die Grenzen in eine Stammfunktion ein.
  $\mathsf{E(X)=\left[\frac{x^2}{3}-\frac{2x^3}{27}\right]_0^3=3-2=1}$
Ergebnis
1. Erwartungswert $\mathsf{1}$
06
Aufgabe 6Dichtefunktion Übung · TransferEine Funktion hat auf 0 bis 1 den Wert−0,5, auf 1 bis 2 den Wert 1,5 und ist sonst 0. Jemand nennt sie eine Dichte, weil ihr Integral 1 ist. Prüfe die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründetes Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-0{,}5)\cdot1+1{,}5\cdot1=1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auf dem ersten Intervall ist die Funktion negativ.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Eine Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich wäre negativ; das ist unzulässig.
Ergebnis
1. Begründetes UrteilKeine Dichte: Die Normierung gilt, aber die Nichtnegativität ist verletzt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe beide Dichtebedingungen.
Ich wähle zwischen geometrischer Fläche und Integral.
Ich gewichte für den Erwartungswert zusätzlich mit x.

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