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Statistische Tests · Erklären & üben

Signifikanzniveau

Das Signifikanzniveau ist eine vorab gewählte Grenze für ein bestimmtes Fehlerrisiko. Es wird nicht aus der Stichprobe abgelesen und ist nicht mit dem p-Wert gleichzusetzen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Risiko vorab begrenzen

Das Niveau αbegrenzt die Wahrscheinlichkeit, eine wahre Nullhypothese zu verwerfen. Bei einer zusammengesetzten Nullhypothese muss diese Grenze für alle darin zugelassenen Parameter gelten. Die Stichprobe liefert die Teststatistik; die Hypothesen betreffen dagegen die Population. Welches Niveau sachlich passend ist, hängt auch von den Folgen einer Fehlentscheidung ab.5 Prozent ist eine Konvention, keine Naturkonstante.

  1. Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.

  2. Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

sup⁡θ∈H0Pθ(Verwerfen)≤α\mathsf{\sup_{\theta\in H_0}P_\theta(\textsf{Verwerfen})\le\alpha}

Erklärung 02

Gewähltes und erreichtes Niveau

Bei diskreten Teststatistiken lassen sich nicht beliebige Randwahrscheinlichkeiten einstellen. Ein Ablehnungsbereich kann deshalb ein tatsächlich erreichtes Fehlerrisiko unterhalb des geplanten Niveaus besitzen. Unser rechtsseitiger Test mit fünf unabhängigen Bernoulli-Versuchen prüft H 0:p≤0,5 gegenp>0,5; der ungünstigste Nullfall istp=0,5.

  1. Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.

  2. Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

P0,5(X∈A)≤0,05\mathsf{P_{0{,}5}(X\in A)\le0{,}05}

Rechtsseitiger kritischer Bereich mit erreichtem Niveau0,03125.

So geht es am Beispiel

Soll bei mindestens 4 Treffern verworfen werden?

P0,5(X≥4)=632=0,1875\mathsf{P_{0{,}5}(X\ge4)=\frac6{32}=0{,}1875}

Diese Regel überschreitet das geplante 5-Prozent-Niveau. NurX=5 als Ablehnungsbereich liefert 1/32=0,03125 und hält es ein.

Ergebnis

Die strengere RegelX=5 ist geeignet, X≥4 nicht.

Erklärung 03

Eine Schwelle ist keine inhaltliche Bewertung

Ein Ergebnis kann bei 5 Prozent signifikant und bei 1 Prozent nicht signifikant sein. Das ändert weder Daten noch Effektgröße. Statistische Signifikanz beweist keine praktische Bedeutung und keine Kausalität. Auch bei vielen tatsächlich wahren Nullhypothesen ist die Anzahl falscher Ablehnungen zufällig; αist keine Garantie für eine exakte Fehlerzahl. Der Grundablauf steht im Thema Hypothesentest; die Präzision eines Schätzers erklärt das Thema Standardfehler.

  1. Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.

  2. Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

p-Wert≤α⇒Verwerfen nach der gewa¨hlten Regel\mathsf{p\textsf{-Wert}\le\alpha\Rightarrow\textsf{Verwerfen nach der gewählten Regel}}

Zweiseitiger Randbereich als Vergleich verschiedener Testregeln.

So geht es am Beispiel

Ein gültiger Test liefert p-Wert 0,03. Vergleiche vorab festgelegte Niveaus 0,05 und 0,01.

0,03≤0,05\mathsf{0{,}03\le0{,}05}
0,03>0,01\mathsf{0{,}03>0{,}01}

Ergebnis

Bei 5 Prozent wird verworfen, bei 1 Prozent nicht.

So geht es am Beispiel

1000 Tests prüfen jeweils eine wahre Nullhypothese mit Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens 0,05. Was folgt für die erwartete Fehlerzahl?

E(Fehlerzahl)≤1000⋅0,05=50\mathsf{E(\textsf{Fehlerzahl})\le1000\cdot0{,}05=50}

Das ist eine Erwartungsschranke, keine Zusage für die tatsächlich beobachtete Zahl. Für die Erwartungsrechnung ist keine Unabhängigkeit der Tests erforderlich.

Ergebnis

Im Erwartungswert höchstens 50 Fehler, nicht zwingend genau 50.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Signifikanzniveau · EinstiegWas begrenzt ein Niveau von 0,05?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es begrenzt unter dem gültigen Testmodell das Risiko, eine wahre Nullhypothese zu verwerfen.

    Ergebnis

    1. BedeutungFehlerwahrscheinlichkeit erster Art höchstens 5 Prozent.
  2. Aufgabe 2Signifikanzniveau · EinstiegUnter B(5,0,5)beträgt die Wahrscheinlichkeit vonX≥4 genau 6/32. Hält dieser Ablehnungsbereich das 5-Prozent-Niveau ein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      6/32=0,1875>0,05\mathsf{6/32=0{,}1875>0{,}05}

    Ergebnis

    1. EntscheidungNein;18,75 Prozent überschreiten 5 Prozent.
  3. Aufgabe 3Signifikanzniveau · StandardBerechne das erreichte Niveau der Regel „Verwerfen nur beiX=5“ im selben Nullmodell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X=5)=1/32=0,03125\mathsf{P(X=5)=1/32=0{,}03125}

    Ergebnis

    1. Erreichtes Niveau0,03125\mathsf{0{,}03125}
  4. Aufgabe 4Signifikanzniveau · StandardEin p-Wert beträgt 0,03. Wie entscheiden Tests mit vorab festgelegten Niveaus 0,05 und 0,01?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      0,03 liegt unter 0,05, aber über 0,01.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Bei0,05Verwerfen.
    2. Bei0,01Nicht verwerfen.
  5. Aufgabe 5Signifikanzniveau · TransferMarkiere in der Vorlage den Ablehnungsbereich{5}des rechtsseitigen Tests. Alle übrigen Trefferzahlen bleiben unmarkiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Markierung

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Nur die Säule bei 5 gehört zum kritischen Bereich; ihre Wahrscheinlichkeit ist 0,03125.

    Ergebnis

    1. MarkierungNur Säule 5 markiert.
  6. Aufgabe 6Signifikanzniveau · TransferEin sehr kleiner Unterschied ist in einer großen Stichprobe statistisch signifikant. Muss er praktisch wichtig sein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nein. Signifikanz beschreibt die Entscheidung relativ zu Zufallsstreuung und Nullmodell. Für die praktische Bedeutung braucht man zusätzlich Effektgröße und Kontext.

    Ergebnis

    1. BegründungStatistische Signifikanz allein bestimmt keine praktische Relevanz.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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