Dreiecke und Winkelfunktionen · Erklären & üben

Sinus Cosinus Tangens

Bei einer Dreiecksaufgabe entscheidet die Kombination aus gegebenen und gesuchten Seiten über die passende Beziehung. Beginne mit dem rechten Winkel und dem Bezugswinkel, bevor du eine Taste am Rechner drückst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche beiden Seiten sind beteiligt?

Markiere den spitzen Bezugswinkel und benenne die Seiten relativ zu ihm. Für G und H wählst du Sinus, für A und H Cosinus, für G und A Tangens. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Ist kein rechter Winkel vorhanden, gelten diese Kathetenverhältnisse nicht direkt.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{\sin\alpha=G/H,\quad\cos\alpha=A/H,\quad\tan\alpha=G/A}$

So geht es am Beispiel

Gegeben sind die Ankathete und der Winkel; gesucht ist die Hypotenuse. Welche Beziehung passt?

Es sind A und H beteiligt.

Der Cosinus verbindet genau diese beiden Größen.

Erklärung 02

Zuerst umstellen, dann einsetzen

Für eine gesuchte Seite verwendest du die normale Winkelfunktion. Steht die gesuchte Seite im Nenner, musst du die Gleichung entsprechend umstellen. Die Hypotenuse muss länger als jede Kathete sein; das ist eine nützliche Ergebniskontrolle. Längeinheiten müssen vor dem Verhältnis vergleichbar sein.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{H=\frac{G}{\sin\alpha}}$

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{G=5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=30^\circ}$ . Berechne H.

\mathsf{\sin30^\circ=5/H}

\mathsf{H=5/\sin30^\circ=5/0{,}5}

Erklärung 03

Winkel mit der Umkehrfunktion

Für einen gesuchten spitzen Winkel bilden die Seiten zunächst ein Verhältnis. Danach verwendest du arcsin, arccos oder arctan. Im Gradmaß steht der Rechner auf DEG. Ein Ergebnis außerhalb des Bereichs zwischen0° und90° passt nicht zu einem spitzen Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{\alpha=\arctan(G/A)}$

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat zum Bezugswinkel $\mathsf{G=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{A=8\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme den Winkel.

\mathsf{\tan\alpha=6/8=0{,}75}

\mathsf{\alpha=\arctan(0{,}75)\approx36{,}9^\circ}

Erklärung 04

Beziehungen und Standardwerte nutzen

Im Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras $\mathsf{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}$ . Außerdem gilt $\mathsf{\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha}$ , wenn der Nenner nicht null ist. Standardwerte sparen Rechnungen: $\mathsf{\sin30^\circ=\cos60^\circ=1/2}$ , $\mathsf{\sin45^\circ=\cos45^\circ=\sqrt2/2}$ , $\mathsf{\tan45^\circ=1}$ . Die Quadrate in der ersten Formel sind wichtig: Sinus und Cosinus selbst ergeben im Allgemeinen nicht die Summe1.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}$

So geht es am Beispiel

Für einen spitzen Winkel gilt $\mathsf{\sin\alpha=0{,}6}$ . Berechne den Cosinus.

\mathsf{\cos^2\alpha=1-0{,}6^2=0{,}64}

Für einen spitzen Winkel ist der Cosinus positiv.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Sinus Cosinus Tangens · standardWelche Funktion passt jeweils: G und H; A und H; G und A?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
G und H
A und H
G und A
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Wähle jeweils die Beziehung, in der genau die beiden Seiten vorkommen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. G und HSinus
2. A und HCosinus
3. G und ATangens
02
Aufgabe 2Sinus Cosinus Tangens · standardEine10m lange Leiter bildet mit dem waagerechten Boden einen Winkel von $\mathsf{60^\circ}$ . Die Wand ist senkrecht. Welche Höhe erreicht die Leiter? Runde auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Leiter ist H, die Höhe ist G: $\mathsf{h=10\sin60^\circ}$ .
  $\mathsf{h=5\sqrt3\,\mathsf m}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{h\approx8{,}66\,\mathsf m}$
03
Aufgabe 3Sinus Cosinus Tangens · standardEine Rampe überwindet3m Höhe bei4m waagerechter Strecke. Bestimme den Neigungswinkel zum Boden auf eine Nachkommastelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\tan\alpha=3/4}$
  $\mathsf{\alpha=\arctan(0{,}75)\approx36{,}9^\circ}$
Ergebnis
1. Winkel $\mathsf{\alpha\approx36{,}9^\circ}$
04
Aufgabe 4Sinus Cosinus Tangens · standardBeschrifte die Vorlage mit G, A und H zum Winkel $\mathsf{\alpha}$ . Gesucht sei die Länge von BC, gegeben seien AC und $\mathsf{\alpha}$ . Notiere die passende umgestellte Beziehung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Umgestellte Beziehung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  BC ist G und AC ist A; daher wird der Tangens verwendet.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungBC:G; AC:A; AB:H.
2. Umgestellte Beziehung $\mathsf{G=A\tan\alpha}$
05
Aufgabe 5Sinus Cosinus Tangens · standardEs gilt $\mathsf{A=9\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=60^\circ}$ . Berechne H und prüfe, ob die Größe plausibel ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Plausibilität
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{H=A/\cos\alpha=9/0{,}5=18}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Hypotenuse ist länger als die gegebene Kathete.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hypotenuse $\mathsf{H=18\,\mathsf{cm}}$
2. Plausibilität18cm ist größer als9cm; die Größenordnung passt.
06
Aufgabe 6Sinus Cosinus Tangens · standardBestimme ohne Taschenrechner $\mathsf{\sin30^\circ}$ , $\mathsf{\cos60^\circ}$ und $\mathsf{\tan45^\circ}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sinus30°
Cosinus60°
Tangens45°
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Werte folgen aus dem halbierten gleichseitigen beziehungsweise dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sinus30° $\mathsf{1/2}$
2. Cosinus60° $\mathsf{1/2}$
3. Tangens45° $\mathsf{1}$
07
Aufgabe 7Sinus Cosinus Tangens · standardJemand schreibt bei $\mathsf{G=3\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{A=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{H=5\,\mathsf{cm}}$ : $\mathsf{\sin\alpha=3/4}$ . Korrigiere die Gleichung und nenne die Funktion, zu der3/4 gehört.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sinus
Zuordnung3/4
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Sinus verwendet die Hypotenuse im Nenner, also5cm.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Quotient G/A gehört zum Tangens.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sinus $\mathsf{\sin\alpha=3/5}$
2. Zuordnung3/4 $\mathsf{\tan\alpha=3/4}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle die Funktion anhand der beteiligten Seiten.
Ich stelle die Gleichung vor dem Einsetzen um.
Ich kontrolliere Winkelmodus, Einheit und Plausibilität.

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