Dreiecke und Winkelfunktionen · Erklären & üben

Tangens

Der Tangens verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten. Er ist besonders praktisch, wenn eine Höhe und ein waagerechter Abstand vorkommen und die Hypotenuse nicht gebraucht wird.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das Verhältnis der Katheten

Zum spitzen Bezugswinkel $\mathsf{\alpha}$ ist G die Gegenkathete und A die Ankathete. Die Hypotenuse kommt in der Tangensformel nicht vor. Für $\mathsf{0^\circ<\alpha<90^\circ}$ ist der Tangens positiv; anders als Sinus und Cosinus kann er auch größer als1 sein.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{\tan\alpha=\frac{G}{A}}$

So geht es am Beispiel

Berechne den Tangens für $\mathsf{G=3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{A=4\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{\tan\alpha=3/4=0{,}75}

Erklärung 02

Einheitskreis, Graph und Definitionslücken

Es gilt $\mathsf{\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha}$ , sofern der Nenner nicht null ist. Am Einheitskreis schneidet die Gerade durch Ursprung und Kreispunkt die senkrechte Tangente $\mathsf{x=1}$ in der Höhe $\mathsf{\tan\alpha}$ . Bei $\mathsf{90^\circ+k\cdot180^\circ}$ gibt es keinen Schnittpunkt und keinen Tangenswert. Der Graph besitzt dort Polstellen. Seine kleinste positive Periode beträgt $\mathsf{180^\circ}$ beziehungsweise $\mathsf{\pi}$ .

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad\cos\alpha\ne0}$

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{\tan45^\circ}$ .

\mathsf{\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}}

Der Quotient zweier gleicher, von null verschiedener Zahlen ist1.

Erklärung 03

Seiten und Winkel berechnen

Zum Berechnen einer Seite stellst du die Verhältnisgleichung um. Für den spitzen Winkel verwendest du $\mathsf{\arctan(G/A)}$ . Gradwinkel benötigen DEG; Winkel im Bogenmaß benötigen RAD. Runde erst das Endergebnis. Bei Sachaufgaben muss die Skizze tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{G=A\tan\alpha,\qquad A=\frac{G}{\tan\alpha}}$

So geht es am Beispiel

Der waagerechte Abstand beträgt8m, der Höhenwinkel $\mathsf{30^\circ}$ . Bestimme die Höhe über der waagerechten Bezugslinie.

\mathsf{G=8\tan30^\circ=\frac8{\sqrt3}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Tangens · standardBerechne den Tangens bei $\mathsf{G=9\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{A=12\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tangens
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\tan\alpha=9/12=3/4}$
Ergebnis
1. Tangens $\mathsf{0{,}75}$
02
Aufgabe 2Tangens · standardVon einem Punkt am ebenen Boden ist eine senkrechte Wand6m entfernt. Der Höhenwinkel zur Wandspitze beträgt $\mathsf{45^\circ}$ . Wie hoch ist die Wand? Die Beobachtung erfolgt auf Bodenhöhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=6\tan45^\circ=6\cdot1}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{h=6\,\mathsf m}$
03
Aufgabe 3Tangens · standardBestimme den spitzen Winkel für $\mathsf{G=3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{A=4\,\mathsf{cm}}$ auf eine Nachkommastelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\alpha=\arctan(3/4)\approx36{,}9^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Rechner steht auf DEG.
Ergebnis
1. Winkel $\mathsf{\alpha\approx36{,}9^\circ}$
04
Aufgabe 4Tangens · standardErgänze in der Vorlage die Bezeichnungen G, A und H zum Winkel $\mathsf{\alpha}$ . Notiere die Tangensbeziehung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beschriftete Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Beschriftete Zeichnung
Beziehung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gegenkathete ist BC, die Ankathete AC. AB ist die Hypotenuse.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Beschriftete ZeichnungBC:G; AC:A; AB:H.
2. Beziehung $\mathsf{\tan\alpha=G/A}$
05
Aufgabe 5Tangens · standardWarum ist $\mathsf{\tan90^\circ}$ nicht definiert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos90^\circ=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\tan90^\circ}$ würde den Quotienten $\mathsf{1/0}$ verlangen.
Ergebnis
1. BegründungDivision durch null ist nicht definiert; ein Tangenswert existiert hier nicht.
06
Aufgabe 6Tangens · standardBestimme $\mathsf{\tan(\pi/4)}$ und nenne den passenden Taschenrechnermodus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Modus
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\pi/4=45^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für die Eingabe π/4 ist der Bogenmaßmodus erforderlich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert $\mathsf{1}$
2. ModusRAD
07
Aufgabe 7Tangens · standardBestimme $\mathsf{\tan225^\circ}$ aus dem Wert bei $\mathsf{45^\circ}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tangens
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{225^\circ=45^\circ+180^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nach einer halben Umdrehung wechseln Sinus und Cosinus beide das Vorzeichen; ihr Quotient bleibt gleich.
Ergebnis
1. Tangens $\mathsf{\tan225^\circ=1}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich teile Gegenkathete durch Ankathete.
Ich kenne die Definitionslücken bei90° plus ganzen Halbkreisen.
Ich verwende arctan für den gesuchten spitzen Winkel.

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