Mit Vektoren rechnen · Erklären & üben

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt verbindet zwei gleich dimensionale Vektoren zu einer Zahl. Mit dieser Zahl untersuchst du rechte Winkel, Längen und Winkelgrößen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Komponenten multiplizieren und addieren

In der Ebene gilt $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2}$ . Im Raum gilt $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}$ . Das Ergebnis ist ein Skalar, also eine Zahl.

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal: $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a}$ . Außerdem gilt das Distributivgesetz $\mathsf{\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne das Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-1)+(-3)\cdot4}

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=-2-12}

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=-14}

So geht es am Beispiel

Berechne das Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=1\cdot3+2\cdot(-1)+(-2)\cdot4}

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=3-2-8}

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=-7}

Erklärung 02

Orthogonalität prüfen

Zwei von null verschiedene Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Bei einer unbekannten Komponente liefert diese Bedingung eine Gleichung.

Der Nullvektor hat mit jedem Vektor das Skalarprodukt 0. Er besitzt aber keine Richtung; ein geometrischer Winkel mit ihm ist nicht definiert.

So geht es am Beispiel

Finde t so, dass $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}t\\-6\end{pmatrix}}$ senkrecht sind.

\mathsf{3t-12=0}

\mathsf{3t=12}

\mathsf{t=4}

Beide Vektoren bleiben von null verschieden.

Erklärung 03

Die Länge aus einem Skalarprodukt

Das Produkt eines Vektors mit sich selbst ist die Summe seiner Komponentenquadrate: $\mathsf{\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2}$ . Die Länge ist die nicht negative Wurzel daraus.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Länge von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec a\cdot\vec a=2^2+(-1)^2+2^2}

\mathsf{\vec a\cdot\vec a=9}

\mathsf{|\vec a|=\sqrt9=3}

Erklärung 04

Den Winkel berechnen

Für zwei Nichtnullvektoren gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}}$ . Der Winkel liegt zwischen 0° und 180°.

Berechne zuerst das Skalarprodukt, danach beide Längen. Teile durch das Produkt der Längen. Nutze zuletzt die Umkehrfunktion des Kosinus im Gradmodus.

Ein positives Skalarprodukt bedeutet einen Winkel unter 90°, ein negatives einen Winkel über 90°. Bei 0 ist der Winkel genau 90°.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Winkel zwischen $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=1}

\mathsf{|\vec a|=\sqrt2}

\mathsf{|\vec b|=\sqrt2}

\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}\alpha=\frac1{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12}

\mathsf{\alpha=60^\circ}

Erklärung 05

Geometrisch deuten

Im Bild ist das Skalarprodukt $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\operatorname{\textsf{cos}}\alpha}$ das Produkt aus der Länge von a und der vorzeichenbehafteten Projektion von b auf die Richtung von a.

Eine Projektion in Gegenrichtung hat ein negatives Vorzeichen. Bei einem rechten Winkel ist die Projektion 0.

Ein Normalenvektor zu zwei Raumvektoren wird dagegen mit dem Kreuzprodukt bestimmt. Die beiden Produkte haben unterschiedliche Ergebnisse.

Vektor a verläuft waagerecht; b bildet einen spitzen Winkel. Seine Projektion endet am Lotfuß auf a.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Skalarprodukt · EinstiegBerechne das Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalarprodukt mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(4)\cdot(-1)+(-2)\cdot(3)}$
  $\mathsf{(-4)+(-6)=-10}$
Ergebnis
1. Skalarprodukt mit Rechenweg $\mathsf{-10}$
02
Aufgabe 2Skalarprodukt · EinstiegBerechne das Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalarprodukt mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2)\cdot(1)+(-1)\cdot(4)+(3)\cdot(-2)}$
  $\mathsf{(2)+(-4)+(-6)=-8}$
Ergebnis
1. Skalarprodukt mit Rechenweg $\mathsf{-8}$
03
Aufgabe 3Skalarprodukt · StandardBestimme t, sodass $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}t\\6\end{pmatrix}}$ senkrecht sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
t mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2t+6=0}$
  $\mathsf{2t=-6}$
  $\mathsf{t=-3}$
Ergebnis
1. t mit Rechenweg $\mathsf{t=-3}$
04
Aufgabe 4Skalarprodukt · StandardBestimme die Länge von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}}$ über das Skalarprodukt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Länge mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec a=4+9+36}$
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec a=49}$
  $\mathsf{|\vec a|=7}$
Ergebnis
1. Länge mit Rechenweg7
05
Aufgabe 5Skalarprodukt · StandardBestimme den Winkel zwischen $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=-1}$
  $\mathsf{|\vec a|=1}$
  $\mathsf{|\vec b|=\sqrt2}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}\alpha=-\frac1{\sqrt2}}$
  $\mathsf{\alpha=135^\circ}$
Ergebnis
1. Winkel mit Rechenweg $\mathsf{135^\circ}$
06
Aufgabe 6Skalarprodukt · StandardBestimme den Winkel zwischen $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=1}$
  $\mathsf{|\vec a|=\sqrt2}$
  $\mathsf{|\vec b|=\sqrt2}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}\alpha=\frac12}$
  $\mathsf{\alpha=60^\circ}$
Ergebnis
1. Winkel mit Rechenweg $\mathsf{60^\circ}$
07
Aufgabe 7Skalarprodukt · StandardZeichne $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$ vom Ursprung aus in das vorbereitete Koordinatensystem. Prüfe den Winkel rechnerisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung und Prüfung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung und Prüfung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-1)+1\cdot3}$
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beide Vektoren sind von null verschieden, also gilt $\mathsf{\alpha=90^\circ}$ .
Ergebnis
1. Zeichnung und PrüfungPfeile nach (3 | 1) und (−1 | 3); $\mathsf{\alpha=90^\circ}$ .
08
Aufgabe 8Skalarprodukt · VertiefungDas Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ ist 0. Kannst du daraus einen Winkel von 90° folgern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründete Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nullvektor hat die Länge 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  In der Winkelgleichung würde der Nenner 0 werden.
Ergebnis
1. Begründete AntwortNein. Der Nullvektor hat keine Richtung, daher ist der Winkel nicht definiert.
09
Aufgabe 9Skalarprodukt · VertiefungFinde t, sodass $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}t\\2\\-1\end{pmatrix}}$ senkrecht sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
t mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t-2-2=0}$
  $\mathsf{t-4=0}$
  $\mathsf{t=4}$
Ergebnis
1. t mit Rechenweg $\mathsf{t=4}$
10
Aufgabe 10Skalarprodukt · VertiefungGegeben sind A(0 | 0), B(3 | 0) und C(3 | 4). Untersuche mit dem Skalarprodukt, ob das Dreieck bei B einen rechten Winkel hat.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vektoren am Eckpunkt B
Winkel mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-3)\cdot0+0\cdot4}$
  $\mathsf{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vektoren am Eckpunkt B $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$
2. Winkel mit BegründungBei B liegt ein rechter Winkel vor: beide Kantenvektoren sind nicht null und ihr Skalarprodukt ist 0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle die Verknüpfung passend zum gesuchten Ergebnistyp.
Ich beachte die Dimensionen und rechne mit korrekten Vorzeichen.
Ich schließe Nullvektoren bei Winkelberechnungen aus.

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